事实证明数学学科好对数论没有一点帮助。。。
下文中涉及\(F(x)\)与\(f(x)\)关系的含\(\sum\)的式子中，使用的自变量为\(d\)
正文
我们假设现在手上有两个函数\(f(x)\)和\(F(x)\)，其中\(F(x)\)很好求，\(f(x)\)很难求。已知\(F(x)\)可以表示成\(f(x)\)的和的形式，那么我们用\(F(x)\)反过来去求\(f(x)\)的过程就叫做莫比乌斯反演。
莫比乌斯反演主要有一下两种形式。
第一种
已知
\[F(x)=\sum_{d|x}f(d)\]
则
\[f(x)=\sum_{d|x}\mu(\frac{x}{d})F(d)\]
第二种
已知
\[F(x)=\sum_{x|d}^{n}f(d)\]
则
\[f(x)=\sum_{x|d}^{n}\mu(\frac{d}{x})F(d)\]
其中\(\mu(x)\)为莫比乌斯函数，可表示为
1、若\(x=1\)，则\(\mu(x)=1\)
2、若\(x=p_1p_2p_3...p_k\)，则\(\mu(x)=(-1)^k\)
3、若\(x=p^2*d\quad(d\in N^{+})\)，则\(\mu(x)=0\)
莫比乌斯函数可以通过线性筛在\(O(n)\)时间复杂度内得到。
举个栗子
我们现在需要求
\[\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}gcd(i,j)\]
或者是
\[\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[gcd(i,j)==1]\]
那么我们构造两个函数\(f(x)\)，\(F(x)\)，令
\[f(x)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[gcd(i,j)==x]\]
又令\[F(x)=\sum_{x|d}^{n}f(d)\]
（假设\(n \ge m\)）观察式子，发现\(F(x)\)就是指在1到n和1到m中各选1个数它们的gcd是的x的倍数的方案数，那么显然有一个这样子的式子：
\[F(x)=\lfloor\frac nx\rfloor\lfloor\frac mx\rfloor\]
这就对应了“\(F(x)\)很好求而\(f(x)\)很难求”的要求，所以就可以用莫比乌斯反演做了。
如果求的是第二问那么答案就是\(f(1)\)，如果求的是第一问那么答案就应该是\[\sum_{i=1}^{n}f(i)*i\]而如果要把所有\(f(i)\)求出来的话复杂度是
\[O(\sum_{i=1}^{n}\frac ni)\]
哎呀我数学太差了这个等于多少来着，反正\(n\le 10w\)的数据肯定是跑得过的。
骚操作
\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m[gcd(i,j)==k]=\sum_{i=1}^{n/k}\sum_{j=1}^{m/k}[gcd(i,j)==1]\]
就是把k的因子提出来了而已辣。