先默认读者有基础的网络流以及费用流的知识前置
1.有上下界无源点汇点的可行流问题：
在本文中指：
原图中没有任何一个点可以凭空产生流量，亦没有任何一个点可以凭空消灭流量；
存在边既有流量上界又有流量下界；
求每条边流量的一组可行解；
满足每个点的入流量等于出流量；
由题意可见本题的图中有环，于是此类问题也被称作循环流；
这里给出的解法是将本题转换为一道普通的有上界最大流问题；
修改本题原图中每条边的流量下界为0，上界为原上界-原下界；
视为该边现在已经拥有了等同于该边流量下界的基础流量了，
然而，由于每条边在原图中的流量下界不同，导致他们现在的基础流量不同；
于是如果再让现在图中每个点出入相等，则表面相等，实则不同；
考虑当现在图中一条边i将x的流量汇入点a，实则汇入x+low[i]的流量（low[i]为i的下界），于是应当有额外一条low[i]的边连入a
考虑当现在图中一条边i将x的流量运出点a，实则运出x+low[i]的流量（low[i]为i的下界），于是应当有额外一条low[i]的边自a连出
由于这些额外的流量在现在图中看来是凭空产生的，所以所有连入原图的边应当自一个额外的源点出发，设为S`
同理，所有连出原图的边应当去往一个额外的汇点，设为T`
然后，跑S`到T`的最大流，希望他可以是附加的边可以满流；
若附加边可以满流，则跑出了一组可行流，原图中每条边的可行流是他在现在图中对应边的流量加流量下界
若不满流，则说明无论如何，原图中总会有边达不到下界，于是原图不存在可行流；
注意：存在优化——即可以把所有同起点同终点的边等效为一条流量为加和的边，从S`到a的边的流量可以1:1抵消掉从a到T`的流量
2.有上下界无源点汇点的最小费用流问题：
在本文中指：
在上个问题中的图上加权的费用流问题；
这里给出的解法是直接在上题重构的图中，给每条边符合他来历的权值即可；
由于一定附加边满流才有解，于是可以把附加边贡献的费用视为0上后单独算出加到答案中去；
3.有上下界多个有限源汇点的可行流问题：
在本文中指：
在第一个问题的基础上，有些点必须消灭一定的流量，有些点必须产生一定的流量；
对某些必须产生一定流量x的点，从S`连一条上限为x的附加边；
对某些必须消灭一定流量x的点，向T`连一条上限为x的附加边；
跑最大流，期望附加边满流；
4.问题3的最小费用流版本：
在问题3上附上费用，直接跑费用流即可
5.有上下界一组无限流量源汇点的可行流问题：
在本文中指：
存在边既有流量上界又有流量下界；
存在一个源点S可以随意产生流量，存在一个汇点T可以随便消灭流量
求每条边流量的一组可行解；
满足源汇点之外的每个点入流量等于出流量；
可以看出S的流出等于T的流入；
于是建一条从T到S的流量无限的边，本题的图就属于问题1了；
有趣的是，边T->S的流量可以视作原图中S到T的总流量（因为连上此边后，S，T各自的出入相等）
6.问题5的最小费用流版本：
在问题5上附上费用，直接跑费用流即可
7.问题5的最大流版本：
先跑出问题5的一组可行流；
然而这组可行流并不一定是最大流；
发现一个性质，当我们采用增光路算法求解最大流时，并不会修改源点到汇点路径之外的边的流量大小；
这意味着当我们第一次跑出问题5的一组可行解之后（跑这组可行解，即跑从S`到T`的最大流），
在现在的图上直接跑S到T的最大流，
就能保证
1不会影响被视作原图中边流量下界的边的流量情况——他们依然是满流的；
2图上连的T->S的边的退流过程，等价于有一条S->T的边在增广，于是他把第一次可行流的答案加入第二次跑出的最大流中；
也就是说，这时跑出来的最大流可以被认为是满足上下界前提下的最大流；
8.问题7的最小费用流版本：
在问题7上附上费用，直接跑费用流即可
题目：
bzojP2502
有上下界多个无限源点的费用流问题，好像保证了合法
1 #include<cstdio> 2 #include<cstring> 3 #include<algorithm> 4 using namespace std; 5 const int INF=0x3f3f3f3f; 6 int n,S,T,ansf,answ; 7 struct ss{ 8 int next,to,f,v,cp; 9 }e[30010]; 10 int first[210],num; 11 int in[210]; 12 int que[100010],dis[210],vis[210],flow[210],pre[210],way[210]; 13 void bui_(int ,int ,int ,int ); 14 void build(int ,int ,int ,int ); 15 bool spfa(); 16 void EK(); 17 int main() 18 { 19 int i,j,k,l,o; 20 scanf("%d",&n); 21 S=n+1,T=S+1; 22 for(i=1;i<=n;i++) 23 bui_(S,i,INF,1); 24 for(i=1;i<=n;i++){ 25 scanf("%d",&k),o=0; 26 for(j=1;j<=k;j++){ 27 scanf("%d",&l); 28 bui_(i,l,INF,0); 29 in[l]++;o++; 30 } 31 bui_(i,T,o,0); 32 } 33 for(i=1;i<=n;i++) 34 bui_(S,i,in[i],0); 35 while(spfa()) 36 EK(); 37 printf("%d\n",ansf); 38 return 0; 39 } 40 void bui_(int f,int t,int fi,int vi){ 41 build(f,t,fi,vi),e[num].cp=num+1; 42 build(t,f,0,-vi),e[num].cp=num-1; 43 } 44 void build(int f,int t,int fi,int vi){ 45 e[++num].next=first[f]; 46 e[num].to=t,e[num].f=fi,e[num].v=vi; 47 first[f]=num; 48 } 49 bool spfa(){ 50 int i,h=0,t=1; 51 for(i=1;i<=T;i++)vis[i]=0,dis[i]=0x3f3f3f3f; 52 dis[S]=0,flow[S]=INF,que[t]=S; 53 while(h<t){ 54 vis[que[++h]]=0; 55 for(i=first[que[h]];i;i=e[i].next) 56 if(e[i].f&&dis[e[i].to]>dis[que[h]]+e[i].v){ 57 dis[e[i].to]=dis[que[h]]+e[i].v; 58 pre[e[i].to]=que[h],way[e[i].to]=i; 59 flow[e[i].to]=min(e[i].f,flow[que[h]]); 60 if(!vis[e[i].to]){ 61 que[++t]=e[i].to; 62 vis[que[t]]=1; 63 } 64 } 65 } 66 return dis[T]!=0x3f3f3f3f; 67 } 68 void EK(){ 69 int i; 70 ansf+=(flow[T]*dis[T]); 71 for(i=T;i;i=pre[i]) 72 if(way[i]) 73 e[way[i]].f-=flow[T],e[e[way[i]].cp].f+=flow[T]; 74 }
bzojP3876
同上，
1 #include<cstdio> 2 #include<cstring> 3 #include<algorithm> 4 using namespace std; 5 const int INF=1000000000; 6 int n,S,T,ansf; 7 struct ss{ 8 int to,next,f,v,cp; 9 }e[26010]; 10 int first[1000],num; 11 int in[1010]; 12 int que[1000010],vis[1010],dis[1010],pre[1010],flow[1010],way[1010]; 13 void bui_(int ,int ,int ,int ); 14 void build(int ,int ,int ,int ); 15 bool spfa(); 16 void EK(); 17 int main() 18 { 19 int i,j,k,b,t,su; 20 scanf("%d",&n); 21 S=n+1,T=S+1; 22 bui_(S,1,INF,0); 23 for(i=1;i<=n;i++){ 24 scanf("%d",&k); 25 for(j=1;j<=k;j++){ 26 scanf("%d%d",&b,&t); 27 bui_(i,b,INF,t); 28 bui_(i,T,1,t); 29 in[b]++,su+=t; 30 } 31 } 32 for(i=1;i<=n;i++) 33 if(in[i]) 34 bui_(S,i,in[i],0); 35 bui_(S,1,INF,0); 36 while(spfa()) 37 EK(); 38 printf("%d\n",ansf); 39 } 40 void bui_(int f,int t,int fi,int vi){ 41 build(f,t,fi,vi),e[num].cp=num+1; 42 build(t,f,0,-vi),e[num].cp=num-1; 43 } 44 void build(int f,int t,int fi,int vi){ 45 e[++num].next=first[f]; 46 e[num].to=t,e[num].f=fi,e[num].v=vi; 47 first[f]=num; 48 } 49 bool spfa(){ 50 int i,h=0,t=1; 51 memset(vis,0,sizeof(vis)); 52 memset(dis,0x3f,sizeof(dis)); 53 dis[S]=0,flow[S]=INF,que[t]=S; 54 while(h<t){ 55 vis[que[++h]]=0; 56 for(i=first[que[h]];i;i=e[i].next) 57 if(e[i].f&&dis[e[i].to]>dis[que[h]]+e[i].v){ 58 dis[e[i].to]=dis[que[h]]+e[i].v; 59 pre[e[i].to]=que[h],way[e[i].to]=i; 60 flow[e[i].to]=min(e[i].f,flow[que[h]]); 61 if(!vis[e[i].to]){ 62 que[++t]=e[i].to; 63 vis[que[t]]=1; 64 } 65 } 66 } 67 return dis[T]!=0x3f3f3f3f; 68 } 69 void EK(){ 70 int i; 71 ansf+=(flow[T]*dis[T]); 72 for(i=T;i;i=pre[i]) 73 if(way[i]) 74 e[way[i]].f-=flow[T],e[e[way[i]].cp].f+=flow[T]; 75 }
bzojP2055
有上下界一个有上限源点的费用流问题，注意拆点限制流量
1 #include<cstdio> 2 #include<cstring> 3 #include<algorithm> 4 using namespace std; 5 const int INF=0x3f3f3f3f; 6 int n,m,S,T,ansf,answ; 7 struct ss{ 8 int next,to,f,v,cp; 9 }e[30010]; 10 int first[210],num; 11 int que[100010],dis[210],vis[210],flow[210],pre[210],way[210]; 12 void bui_(int ,int ,int ,int ); 13 void build(int ,int ,int ,int ); 14 bool spfa(); 15 void EK(); 16 int main() 17 { 18 int i,j,k; 19 scanf("%d%d",&n,&m); 20 S=(n<<1)+2,T=S+1; 21 bui_(S,S-1,m,0); 22 for(i=1;i<=n;i++){ 23 scanf("%d",&j); 24 bui_(i,T,j,0),bui_(S,i+n,j,0); 25 bui_(S-1,i,INF,0); 26 } 27 for(i=1;i<n;i++) 28 for(j=1;j<=n-i;j++){ 29 scanf("%d",&k); 30 if(k!=-1) 31 bui_(i+n,i+j,INF,k); 32 } 33 while(spfa()) 34 EK(); 35 printf("%d\n",ansf); 36 return 0; 37 } 38 void bui_(int f,int t,int fi,int vi){ 39 build(f,t,fi,vi),e[num].cp=num+1; 40 build(t,f,0,-vi),e[num].cp=num-1; 41 } 42 void build(int f,int t,int fi,int vi){ 43 e[++num].next=first[f]; 44 e[num].to=t,e[num].f=fi,e[num].v=vi; 45 first[f]=num; 46 } 47 bool spfa(){ 48 int i,h=0,t=1; 49 for(i=1;i<=T;i++)vis[i]=0,dis[i]=0x3f3f3f3f; 50 dis[S]=0,flow[S]=INF,que[t]=S; 51 while(h<t){ 52 vis[que[++h]]=0; 53 for(i=first[que[h]];i;i=e[i].next) 54 if(e[i].f&&dis[e[i].to]>dis[que[h]]+e[i].v){ 55 dis[e[i].to]=dis[que[h]]+e[i].v; 56 pre[e[i].to]=que[h],way[e[i].to]=i; 57 flow[e[i].to]=min(e[i].f,flow[que[h]]); 58 if(!vis[e[i].to]){ 59 que[++t]=e[i].to; 60 vis[que[t]]=1; 61 } 62 } 63 } 64 return dis[T]!=0x3f3f3f3f; 65 } 66 void EK(){ 67 int i; 68 ansf+=(flow[T]*dis[T]); 69 for(i=T;i;i=pre[i]) 70 if(way[i]) 71 e[way[i]].f-=flow[T],e[e[way[i]].cp].f+=flow[T]; 72 }
bzojP3698
有上下界一组源汇点的最大流问题；
1 #include<cstdio> 2 #include<cstring> 3 using namespace std; 4 const int INF=0x3f3f3f3f; 5 int n,S,T; 6 int in[210],out[210]; 7 struct ss{ 8 int next,to,f,cp; 9 }e[100010]; 10 int first[210],num; 11 int que[1000010],dep[210],cut[210]; 12 void bui_(int ,int ,int ); 13 void build(int ,int ,int ); 14 bool bfs(); 15 int dfs(int ,int ); 16 int main() 17 { 18 int i,j,k,add,ans=0; 19 double inpu; 20 scanf("%d",&n); 21 S=(n<<1)+1,T=S+1; 22 for(i=1;i<=n;i++) 23 for(j=1;j<=n;j++){ 24 scanf("%lf",&inpu); 25 if(i==n&&j==n)continue; 26 if(i==n){ 27 if(inpu>(int(inpu))) 28 bui_(j+n-1,T-2,1); 29 in[T-2]+=int(inpu),out[j+n-1]+=int(inpu); 30 continue; 31 } 32 if(j==n){ 33 if(inpu>(int(inpu))) 34 bui_(S-2,i,1); 35 in[i]+=int(inpu),out[S-2]+=int(inpu); 36 continue; 37 } 38 if(inpu>(int(inpu))) 39 bui_(i,j+n-1,1); 40 in[j+n-1]+=int(inpu),out[i]+=int(inpu); 41 } 42 bui_(T-2,S-2,INF); 43 for(i=1;i<=T;i++){ 44 if(in[i]>out[i])bui_(S,i,in[i]-out[i]); 45 if(out[i]>in[i])bui_(i,T,out[i]-in[i]),ans+=out[i]-in[i]; 46 } 47 while(bfs()) 48 while(add=dfs(S,INF)) 49 ans-=add; 50 if(ans){ 51 printf("No\n"); 52 return 0; 53 } 54 S-=2,T-=2; 55 while(bfs()) 56 while(add=dfs(S,INF)) 57 ans+=add; 58 printf("%d\n",ans*3); 59 return 0; 60 } 61 void bui_(int f,int t,int fi){ 62 build(f,t,fi),e[num].cp=num+1; 63 build(t,f,0),e[num].cp=num-1; 64 } 65 void build(int f,int t,int fi){ 66 e[++num].next=first[f]; 67 e[num].to=t,e[num].f=fi; 68 first[f]=num; 69 } 70 bool bfs(){ 71 int i,h=0,t=1; 72 memset(dep,0,sizeof(dep)); 73 for(i=1;i<=T;i++)cut[i]=first[i]; 74 que[t]=S,dep[S]=1; 75 while(h<t){ 76 h++; 77 for(i=first[que[h]];i;i=e[i].next) 78 if(e[i].f&&!dep[e[i].to]){ 79 que[++t]=e[i].to; 80 dep[que[t]]=dep[que[h]]+1; 81 } 82 } 83 return dep[T]; 84 } 85 int dfs(int now,int flow){ 86 int i,ret=0; 87 if(now==T) 88 return flow; 89 for(i=cut[now];i;i=e[i].next) 90 if(e[i].f&&dep[e[i].to]==dep[now]+1){ 91 ret=dfs(e[i].to,flow<e[i].f?flow:e[i].f); 92 if(ret){ 93 e[i].f-=ret; 94 e[e[i].cp].f+=ret; 95 cut[now]=i; 96 return ret; 97 } 98 } 99 cut[now]=0; 100 return 0; 101 }
吐槽一句：
bzoj什么也跑不过，luogu点数26w边数150w都跑得过