排序算法-堆排序

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作者: dreamcatcher-cx

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预备知识

堆排序

  堆排序是利用这种数据结构而设计的一种排序算法,堆排序是一种选择排序,它的最坏,最好,平均时间复杂度均为O(nlogn),它也是不稳定排序。首先简单了解下堆结构。

  堆是具有以下性质的完全二叉树:每个结点的值都大于或等于其左右孩子结点的值,称为大顶堆;或者每个结点的值都小于或等于其左右孩子结点的值,称为小顶堆。如下图:

同时,我们对堆中的结点按层进行编号,将这种逻辑结构映射到数组中就是下面这个样子

该数组从逻辑上讲就是一个堆结构,我们用简单的公式来描述一下堆的定义就是:

大顶堆:arr[i] >= arr[2i+1] && arr[i] >= arr[2i+2]  

小顶堆:arr[i] <= arr[2i+1] && arr[i] <= arr[2i+2]  

ok,了解了这些定义。接下来,我们来看看堆排序的基本思想及基本步骤:

堆排序基本思想及步骤

  堆排序的基本思想是:将待排序序列构造成一个大顶堆,此时,整个序列的最大值就是堆顶的根节点。将其与末尾元素进行交换,此时末尾就为最大值。然后将剩余n-1个元素重新构造成一个堆,这样会得到n个元素的次小值。如此反复执行,便能得到一个有序序列了

步骤一 构造初始堆。将给定无序序列构造成一个大顶堆(一般升序采用大顶堆,降序采用小顶堆)。

  a.假设给定无序序列结构如下

2.此时我们从最后一个非叶子结点开始(叶结点自然不用调整,第一个非叶子结点 arr.length/2-1=5/2-1=1,也就是下面的6结点),从左至右,从下至上进行调整。

4.找到第二个非叶节点4,由于[4,9,8]中9元素最大,4和9交换。

这时,交换导致了子根[4,5,6]结构混乱,继续调整,[4,5,6]中6最大,交换4和6。

此时,我们就将一个无需序列构造成了一个大顶堆。

步骤二 将堆顶元素与末尾元素进行交换,使末尾元素最大。然后继续调整堆,再将堆顶元素与末尾元素交换,得到第二大元素。如此反复进行交换、重建、交换。

a.将堆顶元素9和末尾元素4进行交换

b.重新调整结构,使其继续满足堆定义

c.再将堆顶元素8与末尾元素5进行交换,得到第二大元素8.

后续过程,继续进行调整,交换,如此反复进行,最终使得整个序列有序

再简单总结下堆排序的基本思路:

  a.将无需序列构建成一个堆,根据升序降序需求选择大顶堆或小顶堆;

  b.将堆顶元素与末尾元素交换,将最大元素"沉"到数组末端;

  c.重新调整结构,使其满足堆定义,然后继续交换堆顶元素与当前末尾元素,反复执行调整+交换步骤,直到整个序列有序。

 

代码实现:

using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Linq;
using System.Text;
using System.Threading.Tasks;

namespace _011_堆排序
{
    class Program
    {
        static void Main(string[] args)
        {
            int[] data = { 4,6,8,5,9,23,434,132,54};
            HeapSort(data);
            foreach (var item in data)
            {
                Console.Write(item+" ");
            }
        }

        /// <summary>
        /// 方法1
        /// </summary>
        /// <param name="data"></param>
        public static void HeapSort(int[] data)
        {
            int N = data.Length;
            //遍历这个数的所有非叶节点,挨个把所有的子树,变成子大顶堆
            for (int i =N/2; i>0; i--)
            {
                //从第一个非叶子结点从下至上,从右至左调整结构
                HeapAjust(i, data,N);
            }


           // 2.调整堆结构 + 交换堆顶元素与末尾元素
            while (N > 1)
            {
                //把编号0和编号i位置进行交换
                Swap(data, 0, --N);
                ////重新对堆进行调整
                HeapAjust(1, data, N);
            }
        }
       

        /// <summary>
        /// 调整大顶堆 建立在大顶堆已构建的基础
        /// </summary>
        /// <param name="numberTojust"></param>
        /// <param name="data"></param>
        /// <param name="maxNumber"></param>
        public static void HeapAjust(int numberTojust,int[] data,int maxNumber)
        {
            int MaxNodeNumber = numberTojust;//最大结点的编号
            int tempI = numberTojust;
            while (true)
            {
                //把i节点的子树变成大顶堆
                int leftChildNumber = tempI * 2;
                int rightChildNumber = leftChildNumber + 1;

                if (leftChildNumber <= maxNumber && data[leftChildNumber - 1] > data[MaxNodeNumber - 1])
                    MaxNodeNumber = leftChildNumber;

                if (rightChildNumber <= maxNumber && data[rightChildNumber - 1] > data[MaxNodeNumber - 1])
                    MaxNodeNumber = rightChildNumber;

                if (MaxNodeNumber != tempI) //发现了一个比i更大的子节点  交换i和MaxNodeNumber里面的数据
                {
                    Swap(data,tempI-1,MaxNodeNumber-1);
                    tempI = MaxNodeNumber;
                }
                else
                {
                    break;
                }
            }
        }

        public static void Swap(int[] arr,int a,int b)
        {
            int temp = arr[a];
            arr[a] = arr[b];
            arr[b] = temp;
        }
    }
}

 

最后

  堆排序是一种选择排序,整体主要由构建初始堆+交换堆顶元素和末尾元素并重建堆两部分组成。其中构建初始堆经推导复杂度为O(n),在交换并重建堆的过程中,需交换n-1次,而重建堆的过程中,根据完全二叉树的性质,[log2(n-1),log2(n-2)...1]逐步递减,近似为nlogn。所以堆排序时间复杂度一般认为就是O(nlogn)级。

以上是关于排序算法-堆排序的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

选择排序(简单选择排序堆排序的算法思想及代码实现)

堆排序算法的实现

7.2堆排序的代码分析(算法基础—排序算法)

算法-java代码实现堆排序

十大经典排序算法总结(堆排序)

『算法设计_伪代码』堆排序