很久之前我就想过怎么快速在二维平面上查找一个区域的信息，思考许久无果，只能想到几种优秀一点的暴力。
Kd树就是干上面那件事的。
别的不多说，赶紧把自己的理解写下来，免得凉了。
KD树的组成
以维护k维空间(x,y,……)内的KD树为例，主要由一下三部分组成：
- p[k]，代表树上这个结点所储存的点(在题目中给出的/你自己加上的点集中的一个点)。
- ch[2]，表示它的子结点(没错，KD树是一棵二叉树)
- mi[k]与mx[k]，mi/mx[i]代表KD树这个结点统辖的所有点的第i-1范围。比如说mi[1]=2,mx[1]=4，就代表这棵树统辖的点的y坐标都在[2,4]内。
不看mi和mx，长得就和splay/trie树一样，一个p维护当前节点，一个ch[2]记录左右儿子。
不看p[k]，长得就和线段树一样，有左右儿子和区间信息。
没错，KD树形功能如线段树，结点维护区域信息；形态如splay/trie树，每个结点有实际的值和意义。
KD树的构建
一般题目都是二维平面。下面就以二维平面KD树的构建为例。
读入把点存进结构体数组a中，坐标分别为a[x].p[i]。
inline void build(int &x,int l,int r,int type){ x=(l+r)>>1;now=type; nth_element(a+l,a+x,a+r+1,cmp); nd=a[x];newnode(x); if(l<x)build(ch[x][0],l,x-1,type^1);else ch[x][0]=0; if(x<r)build(ch[x][1],x+1,r,type^1);else ch[x][1]=0; pushup(x); } build(kd.root,1,n,0);
非常优美……对type、now作用不明的同学请继续阅读……你要现在就明白就奇怪了
系统函数nth_element(a+l,a+x,a+r+1)，头文件algorithm，需定义＜或cmp函数。
作用：把排序后第x大的放到第x位，比它小的放进左边，比它大的放进右边(两边无序)。
注意区间开闭：左闭右开，中间也是闭合的。
复杂度：平均，期望是O(n)？可以接受。
下面给出cmp、newnode、pushup代码。
struct Node{int p[2],mi[2],mx[2];}a[N]; inline bool cmp(const Node &a,const Node &b){return a.p[now]<b.p[now];} inline void Min(int &x,int y){x=x<y?x:y;} inline void Max(int &x,int y){x=x>y?x:y;} inline void pushup(int x){ int ls=ch[x][0],rs=ch[x][1]; if(ls){ Min(T[x].mi[0],T[ls].mi[0]);Max(T[x].mx[0],T[ls].mx[0]); Min(T[x].mi[1],T[ls].mi[1]);Max(T[x].mx[1],T[ls].mx[1]); } if(rs){ Min(T[x].mi[0],T[rs].mi[0]);Max(T[x].mx[0],T[rs].mx[0]); Min(T[x].mi[1],T[rs].mi[1]);Max(T[x].mx[1],T[rs].mx[1]); } } inline void newnode(int x){ T[x].p[0]=T[x].mi[0]=T[x].mx[0]=nd.p[0]; T[x].p[1]=T[x].mi[1]=T[x].mx[1]=nd.p[1]; }
不要问我为什么辣么长，为了减常冲榜，把循环展开了……
聪明的读者已经发现KD树的构建巧妙之处。它不是纯粹按照x维，或者某一维排序，而是先竖着分一下，再横着分，再竖着分……
这样分割的区域更加整齐划一更加均匀，不像上面的划分，到最会变成一条条长条，KD树划分到底还是很好看的。
这样分割有什么好处呢？等你真正领悟了KD树的精髓之后你就会发现……嘿嘿嘿……
KD树的操作
1.往KD树上插点
插点可以分为插新点和插老点。如果有老点，特判一句，把信息覆盖即可。
inline void insert(int &x,int type){ if(!x){x=++cnt,newnode(cnt);return;} if(nd.p[0]==T[x].p[0] && nd.p[1]==T[x].p[1]){ ……(自行维护);return; } if(nd.p[type]<T[x].p[type])insert(ch[x][0],type^1); else insert(ch[x][1],type^1); pushup(x); }
依然非常的美妙……等等有什么不对？
我们能估计出一棵刚建好的KD树深度是O(log)的。
但你这么随便乱插……有道题叫HNOI2017 spaly 插入不旋转的单选splay见过？T成苟。
这都不是问题！知不知道有一种数据结构叫做替罪羊树哇？
知道替罪羊树怎么保证复杂度的吗？
重构！大力重构！自信重构！不爽就重构！
为了省事大概没插入10000次就重构一次好了……
if(kd.cnt==sz){ for(int i=1;i<=sz;++i)a[i]=kd.T[i]; kd.rebuild(kd.root,1,sz,0);sz+=10000; }
2.在KD树上查询
- 如果是单点(给定点)查询：
- 太简单啦！
- 如果是查询距离一个点(x‘,y‘)最近的点(曼哈顿距离，|x-x‘|+|y-y‘|)：
- 首先我们看暴力的剪枝：按某一维排序，如果该维的差过大就不管了。
- 而令我们期待的KD树呢？呃不好意思，它也是这么做的……
- 我们维护过两个叫做mi[]和mx[]的东西吧……这个时候就是它派上用场了。
- 具体还请看代码吧：
//查询的点(x‘,y‘)储存在nd中。 //这里的l,r就是mi,mx的意思。 inline int dis(Node p,int x,int ans=0){ for(int i=0;i<2;++i) ans+=max(0,t[x].l[i]-p.p[i])+max(0,p.p[i]-t[x].r[i]); return ans; } inline void query(int x){ Ans=min(Ans,abs(t[x].p[0]-nd.p[0])+abs(t[x].p[1]-nd.p[1])); int dl=ch[x][0]?dis(nd,ch[x][0]):Inf; int dr=ch[x][1]?dis(nd,ch[x][1]):Inf; if(dl<dr){ if(dl<Ans)query(ch[x][0]); if(dr<Ans)query(ch[x][1]); } else{ if(dr<Ans)query(ch[x][1]); if(dl<Ans)query(ch[x][0]); } }
- dis():如果当前点在这个区间内就是0，否则就是最极的点到它的距离。
- 聪明绝顶的你已经发现了……这TM就是个暴力。
- 当暴力有了时间复杂度证明……还叫暴力么？读书人的事，能叫偷么？
- 这么暴力有几个好处：不用枚举所有点；剪枝有效及时。
- 复杂度有保障，大概在O(√n)级别。
- 如果是区间查询，以区间查询点权和为例(之前就有维护好)：
-
inline bool in(int l,int r,int xl,int xr){return l<=xl && xr<=r;} inline bool out(int l,int r,int xl,int xr){return xr<l || r<xl;} inline int query(int x,int x1,int y1,int x2,int y2){ int ans=0;if(!x)return ans; if(in(x1,x2,T[x].mi[0],T[x].mx[0])) if(in(y1,y2,T[x].mi[1],T[x].mx[1])) return T[x].sum; if(out(x1,x2,T[x].mi[0],T[x].mx[0]))return 0; if(out(y1,y2,T[x].mi[1],T[x].mx[1]))return 0; if(in(x1,x2,T[x].p[0],T[x].p[0])) if(in(y1,y2,T[x].p[1],T[x].p[1])) ans+=T[x].val; return ans+query(ch[x][0],x1,y1,x2,y2)+query(ch[x][1],x1,y1,x2,y2); }
- 别看代码长又看起来复杂，写起来跟线段树似的，还是一样的暴力搞。
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KD树的基本姿势大概就是这个样子……例题有"SJY摆棋子"、"简单题"等。