bzoj3000 Big Number 数论，斯特林公式

Posted 2020-10-19 Kaiser

Description

给你两个整数N和K，要求你输出N！的K进制的位数。

Input

有多组输入数据，每组输入数据各一行，每行两个数——N，K

Output

每行一个数为输出结果

Sample Input

2 5
2 10
10 10
100 200

Sample Output

1
1
7
69
对于100%的数据，有2≤N≤2^31， 2≤K≤200，数据组数T≤200。

题解

用Stirling公式求近似值

位数＝logk(n!)+1

≈ logk(sqrt(2πn)*(n/e)^n)+1

= logk( sqrt(2πn))+log[(n/e)^n]+1

=1/2*logk( 2πn)+nlog(n/e)+1

=0.5*logk ( 2πn)+nlog(n/e)+1

=0.5*logk ( 2πn)+nlog(n)-nlog(e)+1

PS:pi=acos(-1.0),e=exp(1)

PS2:eps的存在是为了防止n=2,k=2这样刚好的情况出现，这个时候向上取整要多取1位

 

斯特林公式是求解n!的近似解，对于较大的n数值是十分准确的。

所以可以通过数学方法解决。

 1 #include<cstring>
 2 #include<cmath>
 3 #include<iostream>
 4 #include<cstdio>
 5 #include<algorithm>
 6 
 7 #define ll long long
 8 using namespace std;
 9 const double eps=0.00000000001;
10 const double pai=3.14159265359;
11 const double e=exp(1);
12 
13 int n,k;
14 
15 int main()
16 {
17     freopen("fzy.in","r",stdin);
18     freopen("fzy.out","w",stdout);
19     while(~scanf("%d%d",&n,&k))
20     {
21         if (n<=1000)
22         {
23             double ans=0;
24             for (int i=1;i<=n;i++)
25                 ans+=log(i);
26             ans/=log(k);
27             int res=ceil(ans+eps);
28             printf("%d\\n",res);
29         }
30         else
31         {
32             double res=(log(sqrt(2*pai*n))+n*log(n/e))/log(k);
33             ll ans=ceil(res-eps);
34             printf("%lld\\n",ans);
35         }
36     }
37 }

对了，c++小数处理的时候会有精度损失的问题，所以需要适当加上一个小数