已知m和n是两个整数，并且m^2+mn+n^2能被9整除，试证m,n都能被3整除。

Posted 2020-10-19 xiandedanteng

引证：m,n都是整数，m²=3n,求证m是3的倍数。

引证证明：（反证法）假设m并非3的倍数，那么m²则不含因数3，则m²≠3n,这与已知条件相反。

所以，当m²=3n时，m必是3的倍数。

有了引证，下面是正式证明。

证明：设m²+mn+n²=9k,则有(m-n)²=3(3k-mn),按上面的引证知道m-n是3的倍数，设m-n=3p

又有mn=((m-n)²-9k)/3=3p²-3k=3(p²-k)

 所以mn也是3的倍数，设mn=3q

又有(m+n)²-mn=9k

(m+n)²=9k+mn=9k+3q=3(3k+q)

故m+n也是3的倍数，设m+n=3w

因此有

m+n=3w

m-n=3p

由上面两个方程可以得到

m=3((p+w)/2)

n=3((w-p)/2)

又因为m，n都是整数

所以m,n必为3的倍数

证毕。