算法 - Catalan数 （卡特兰）

Posted 2020-10-19 qlky

http://blog.csdn.net/linhuanmars/article/details/24761459

 

https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%A1%E5%A1%94%E5%85%B0%E6%95%B0

 

C_n表示长度2n的dyck word的个数。Dyck word是一个有n个X和n个Y组成的字串，且所有的前缀字串皆满足X的个数大于等于Y的个数。

 

C_n的另一个表达形式为 

所以，C_n是一个自然数；这一点在先前的通项公式中并不显而易见。这个表达形式也是André对前一公式证明的基础。（见下文的第二个证明。）

递推关系

它也满足

这提供了一个更快速的方法来计算卡塔兰数。

卡塔兰数的渐近增长为

它的含义是当n → ∞时，左式除以右式的商趋向于1。（这可以用n!的斯特灵公式来证明。）

所有的奇卡塔兰数C_n都满足。所有其他的卡塔兰数都是偶数。

 

example:

https://leetcode.com/problems/unique-binary-search-trees/description/