树状数组实现区间修改+区间查询

Posted 2020-10-19 mengmengdezhongyezijiang

事实上，这只是我弱弱的luogu博客的存档……

线段树模板（1）

题意要求：给定一个序列，支持区间修改和区间查询。

智障数据结构模板题……

当然，题目名字告诉我们要用线段树。但是线段树很长，容易出现问题，而且跑得稍慢，所以就有dalao开始yy：可不可以让树状数组支持区间修改和查询呢？

于是伟大的“超级树状数组”横空出世了。

首先，我们看树状数组是如何支持区间修改的：

设 tree[i]=a[i]-a[i-1] （差分），那么容易得到：

 tree[1]+tree[2]+……+tree[i]=a[i] 这个公式

所以，只需要维护tree数组就可以实现区间修改了。

那么问题来了，如果这样，那么如何实现区间查询呢？

我们已经推出了一个公式：

 tree[1]+tree[2]+……tree[i]=a[i] 

那么，对于1到r的区间和，即为：

1  a[1]+a[2]+……+a[r-1]+a[r]
2 //用上方公式推导得出
3 =tree[1]+(tree[1]+tree[2])+……+(tree[1]+……+tree[r])
4 //根据加法交换律与结合律：
5 =(tree[1]*(r))+(tree[2]*(r-1))+……(tree[r]*1)
6 //那么：
7 =r*(tree[1]+tree[2]+……+tree[r])-(tree[1]*0+tree[2]*1+……+tree[r]*(r-1))

 

看到这里，是不是已经很清晰了呢？

对于a的树状数组(差分)tree，建立一个新的树状数组tree1使得：

 tree1[i]=tree[i]*(i-1) 

之后，x到y的区间和即为：

 (y*getsum(tree,y)-(x-1)*getsum(tree,x-1))-(getsum(tree1,y)-getsum(tree1,x-1)) 

当然，对于更新操作也需要进行一些细微调整，详细的就看代码吧……

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 long long n,m,tree[100005],tree1[100005];//题目要求longlong
 4 inline void add(long long*z,long long x,long long num)
 5 {
 6     while(x<=n)
 7     {
 8         z[x]+=num;
 9         x+=x&(-x);
10     }
11 }
12 inline long long getsum(long long*z,long long x)
13 {
14     long long sum=0;
15     while(x>0)
16     {
17         sum+=z[x];
18         x-=x&(-x);
19     }
20     return sum;
21 }
22 int main()
23 {
24     cin.sync_with_stdio(false);
25     cin>>n>>m;
26     long long a,b=0;
27     for(long long i=1;i<=n;i++)
28     {
29         cin>>a;
30         b=a-b;
31         add(tree,i,b);
32         add(tree1,i,(i-1)*b);
33         b=a;
34     }
35     for(long long i=1;i<=m;i++)
36     {
37         int t,x,y,z;
38         cin>>t;
39         if (t==1)
40         {
41             cin>>x>>y>>z;
42             add(tree,x,z);
43             add(tree,y+1,-z);
44             add(tree1,x,z*(x-1));
45             add(tree1,y+1,-z*y);//此处为核心，联系上方的公式，想一想为什么这么修改。
46         }
47         else
48         {
49             cin>>x>>y;
50             cout<<(y*getsum(tree,y)-(x-1)*getsum(tree,x-1))-(getsum(tree1,y)-getsum(tree1,x-1))<<endl;
51         }
52     }
53     return 0;
54 }