数学王国里有n座城市，每座城市有三个参数\(f\)，\(a\)，\(b\)，一个智商为\(x\)的人经过一座城市的获益\(f(x)\)是
若\(f=1\)，则\(f(x)=sin(ax+b)\)；
若\(f=2\)，则\(f(x)=e^{ax+b}\)；
若\(f=3\)，则\(f(x)=ax+b\)；
会发生如下四种事件：
1、有两个城市之间新建了道路；
2、有两个城市之间的道路被摧毁了；
3、城市i的三个参数被修改了；
4、求智商为x的人从u走到v的获益总和。
保证任何时候图是一个森林。
题解
这是一道数学题
如果每座城市的\(f\)都是\(3\)你会做吗？
很简单，LCT维护一下路径上的\(\sum a,\sum b\)即可。
可见我们维护出来的就是函数的一次项系数和常系数。
所以说，如果我告诉你每座城市都是一个不超过13项的多项式函数，你应该不会还不知道怎么做了吧。
但显然这\(sin(ax+b)\)啊，什么\(e^{ax+b}\)啊，这都是些什么鬼。
但如果我可以把它们展开成多项式呢？
根据泰勒公式，我们有
\[f(x)=\sum_{i=0}^{n} \frac{f^{(i)}(x_0)*(x-x_0)^i}{i!}\]
其中\(f^{(i)}(x)\)表示函数\(f(x)\)的\(i\)阶导。
上式是一个近似式，近似度随\(n\)的取值而不断递增。要精确到题目要求的1e-7的话\(n\)只要取12,13就可以了。
数学小课堂——关于指数函数、三角函数、复活(雾)函数的求导
指数函数的求导
\[(a^x)'=a^x*lna\]
(\(lna\)代表取自然对数)。
特殊的，
\[(e^x)'=e^x\]
三角函数的求导
\[(sinx)'=cosx\]
\[(cosx)'=-sinx\]
\[(-sinx)'=-cosx\]
\[(-cosx)'=sinx\]
（所以说是循环四个，周期！）
复合函数
\[[f(g(x))]'=g'(x)*f'(g(x))\]
放到这道题里面去
\[sin'(ax+b)=acos(ax+b)\]
\[sin''(ax+b)=-a^2sin(ax+b)\]
\[sin'''(ax+b)=-a^3cos(ax+b)\]
以此类推
\[(e^{ax+b})^{(n)}=a^ne^{ax+b}\]
一次函数就不说了
然后这题就做完了
code
然而这份代码交到BZOJ上还是T
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cmath>
using namespace std;
const int N = 100005;
const int M = 13;
const double e = 2.718281828;
int n,m,fa[N],ls[N],rs[N],rev[N],f[N],Stack[N],top;
double jc[M],sum[M][N],a[N],b[N];
char type[N],s[N];
bool isroot(int x){return ls[fa[x]]!=x&&rs[fa[x]]!=x;}
void pushup(int x)
{
for (int i=0;i<M;i++)
sum[i][x]=sum[i][ls[x]]+sum[i][rs[x]];
if (f[x]==1)
{
double val=1;
for (int i=0;i<M;i++)
{
if (i%4==0) sum[i][x]+=sin(b[x])*val;
if (i%4==1) sum[i][x]+=cos(b[x])*val;
if (i%4==2) sum[i][x]+=-sin(b[x])*val;
if (i%4==3) sum[i][x]+=-cos(b[x])*val;
val*=a[x];
}
}
if (f[x]==2)
{
double val=pow(e,b[x]);sum[0][x]+=val;
for (int i=1;i<M;i++)
val*=a[x],sum[i][x]+=val;
}
if (f[x]==3)
sum[0][x]+=b[x],sum[1][x]+=a[x];
}
void pushdown(int x){if (!rev[x]) return;swap(ls[x],rs[x]);rev[ls[x]]^=1;rev[rs[x]]^=1;rev[x]=0;}
void R_rotate(int x)
{
int y=fa[x],z=fa[y];
ls[y]=rs[x];
if (rs[x]) fa[rs[x]]=y;
fa[x]=z;
if (!isroot(y)) if (y==ls[z]) ls[z]=x;else rs[z]=x;
rs[x]=y;fa[y]=x;
pushup(y);
}
void L_rotate(int x)
{
int y=fa[x],z=fa[y];
rs[y]=ls[x];
if (ls[x]) fa[ls[x]]=y;
fa[x]=z;
if (!isroot(y)) if (y==ls[z]) ls[z]=x;else rs[z]=x;
ls[x]=y;fa[y]=x;
pushup(y);
}
void splay(int x)
{
Stack[++top]=x;
for (int i=x;!isroot(i);i=fa[i])
Stack[++top]=fa[i];
while (top) pushdown(Stack[top--]);
while (!isroot(x))
{
int y=fa[x],z=fa[y];
if (isroot(y))
if (x==ls[y]) R_rotate(x);
else L_rotate(x);
else
if (y==ls[z])
if (x==ls[y]) R_rotate(y),R_rotate(x);
else L_rotate(x),R_rotate(x);
else
if (x==ls[y]) R_rotate(x),L_rotate(x);
else L_rotate(y),L_rotate(x);
}
pushup(x);
}
void access(int x){for (int y=0;x;y=x,x=fa[x]) splay(x),rs[x]=y,pushup(x);}
void makeroot(int x){access(x);splay(x);rev[x]^=1;}
int findroot(int x){access(x);splay(x);while (ls[x]) x=ls[x];return x;}
void split(int x,int y){makeroot(x);access(y);splay(y);}
void link(int x,int y){makeroot(x);fa[x]=y;}
void cut(int x,int y){split(x,y);ls[y]=fa[x]=0;}
int main()
{
freopen("math.in","r",stdin);
freopen("math.out","w",stdout);
jc[0]=1;
for (int i=1;i<M;i++)
jc[i]=jc[i-1]*i;
scanf("%d %d %s",&n,&m,type);
for (int i=1;i<=n;i++)
scanf("%d %lf %lf",&f[i],&a[i],&b[i]);
while (m--)
{
int u,v,ff;
double aa,bb,x,IQ,ans;
scanf("%s",s);
if (s[0]=='a')
{
scanf("%d %d",&u,&v);
u++;v++;
link(u,v);
}
if (s[0]=='d')
{
scanf("%d %d",&u,&v);
u++;v++;
cut(u,v);
}
if (s[0]=='m')
{
scanf("%d %d %lf %lf",&u,&ff,&aa,&bb);
u++;
makeroot(u);
f[u]=ff;a[u]=aa;b[u]=bb;
pushup(u);
}
if (s[0]=='t')
{
scanf("%d %d %lf",&u,&v,&IQ);x=1;
u++;v++;
if (findroot(u)^findroot(v)) {puts("unreachable");continue;}
split(u,v);
ans=0;
for (int i=0;i<M;i++)
ans+=sum[i][v]*x/jc[i],x*=IQ;
printf("%.8e\n",ans);
}
}
return 0;
}