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前言
判断依据
主要是正、余弦定理的角的形式或者边的形式，其次还可能用到诱导公式，两角和与差的公式和二倍角公式等，
变形思路
①角化边，利用\\(sinA=\\cfrac{a}{2R}\\)等，转化为只有边的形式，然后通过因式分解、配方、提取公因式等，解代数方程得到边的相应关系，从而判断形状；
②边化角，利用\\(a=2RsinA\\)等，转化为只有角的形式，然后通过三角恒等变换，解三角方程得到，得到内角的关系，从而判断形状；此时要注意由于\\(sinA>0\\)恒成立，故方程两端出现\\(\\sin A\\)可以放心约掉；但若出现\\(cosA\\)时不能约分，需要移项提取公因式。
注意：由\\(sinAcosB=sinA\\)，只能得到\\(cosB=1\\)，从而得到\\(B=\\cfrac{\\pi}{2}\\)，即直角三角形；
由\\(cosAsinB=cosAsinC\\)，应该得到\\(cosA=0\\)或\\(sinB=sinC\\)，从而得到\\(A=\\cfrac{\\pi}{2}\\)或\\(B=C\\)，即直角三角形或等腰三角形；
重要结论
\\(sinA=sinB\\Rightarrow A=B\\)，等腰三角形；\\(sin2A=sin2B\\Rightarrow A=B\\)或\\(A+B=\\cfrac{\\pi}{2}\\)，等腰或直角三角形；
\\(cosA=cosB\\Rightarrow A=B\\)，等腰三角形；\\(cos2A=cos2B\\Rightarrow A=B\\)，等腰三角形
\\(sin(A-B)=0\\Rightarrow A=B\\)，等腰三角形；\\(cos(A-B)=1\\Rightarrow A=B\\)，等腰三角形
相关拓展
- 三角形内角和定理
\\(A+B+C=\\pi\\)，\\(\\cfrac{A+B}{2}=\\cfrac{\\pi}{2}-\\cfrac{C}{2}\\)
- 三角形中的三角函数关系
\\(sin(A+B)=sinC\\)，\\(cos(A+B)=-cosC\\)，\\(sin\\cfrac{A+B}{2}=cos\\cfrac{C}{2}\\)，\\(cos\\cfrac{A+B}{2}=sin\\cfrac{C}{2}\\)，
- 三角形中的射影定理
\\(a=b\\cdot cosC+c\\cdot cosB\\)，\\(b=a\\cdot cosC+c\\cdot cosA\\)，\\(c=b\\cdot cosA+a\\cdot cosB\\)，
典例剖析
分析：用正弦定理的边的形式，边化角，
得到\\(sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA\\)，即\\(sin(B+C)=sinA=sinAsinA\\)，
由于\\(sinA\\neq 0\\)，故\\(sinA=1\\)，故\\(A=\\cfrac{\\pi}{2}\\)，故为直角三角形。
反思总结：1、不是所有的题目都即可以角化边，也可以边化角。比如本题目如果角化边，得到\\(b\\cdot \\cfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}+c\\cdot \\cfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=a\\cdot \\cfrac{a}{2R}\\)，接下来\\(R\\)没办法处理，思路陷入僵局。
2、角化边是应该是\\(sinA=\\cfrac{a}{2R}\\)，而不是\\(sinA=a\\)，我们碰到的题目大多能左右约掉\\(2R\\)，但不是所有都可以约掉。
分析：由条件\\(2sinAcosB=sinC\\)得到，\\(2sinAcosB=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB\\)，
整理得到\\(sinAcosB-cosAsinB=0\\)，即\\(sin(A-B)=0\\)，
故\\(A=B\\)，即为等腰三角形。
法2：角化边，\\(2\\cfrac{a}{2R}\\cdot \\cfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\\cfrac{c}{2R}\\)，变形整理得到，
\\(a^2+c^2-b^2=c^2\\)，即\\(a^2=b^2\\)，则\\(a=b\\)，故为等腰三角形。
法1：边化角，得到\\(sinAcosA=sinBcosB\\)，即\\(sin2A=sin2B\\)，
故\\(2A=2B\\)或\\(2A+2B=\\pi\\)，
故\\(A=B\\)或\\(A+B=\\cfrac{\\pi}{2}\\)，则为等腰或直角三角形。
法2：角化边，\\(a\\cdot \\cfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=b\\cdot \\cfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\\)，
两边同乘以\\(ab\\)，得到\\(a^2(b^2+c^2-a^2)=b^2(a^2+c^2-b^2)\\)，
变形整理得到\\((a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)=0\\)，
故\\(a^2=b^2\\)或\\(a^2+b^2=c^2\\)，
即所求三角形为等腰或直角三角形。
分析：角化边，得到\\(2a^2=(2b+c)b+(2c+b)c\\)，
即\\(a^2=b^2+c^2+bc\\)，即\\(b^2+c^2-a^2=-bc\\)；
故\\(cosA=\\cfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=-\\cfrac{1}{2}\\)，则\\(A=\\cfrac{2\\pi}{3}\\)，且有\\(sinA=\\cfrac{\\sqrt{3}}{2}\\)。
再将\\(a^2=b^2+c^2+bc\\)边化角，得到\\(sin^2A=sin^2B+sin^2C+sinBsinC\\)
\\(sinA=\\cfrac{\\sqrt{3}}{2}\\)代入上式得到\\(\\cfrac{3}{4}=(sinB+sinC)^2-sinBsinC\\)，
得到\\(sinBsinC=\\cfrac{1}{4}\\)，又由\\(sinB+sinC=1\\)解得\\(sinB=sinC=\\cfrac{1}{2}\\)，由\\(B、C\\in (0，\\cfrac{\\pi}{3})\\)，
故可得\\(B=C=\\cfrac{\\pi}{6}\\)，综上可得\\(\\Delta ABC\\)的形状为等腰钝角三角形。
反思总结：本题目若从边化角入手，会变得比较复杂。
分析：角化边，得到\\(a^2+b^2<c^2\\)，故选C。
分析：本题目主要考查对数的变形， 由\\(log_{c+b}a+log_{c-b}a=2log_{c+b}a\\cdot log_{c-b}a\\)，
得到\\(\\cfrac{1}{log_a(c+b)}+\\cfrac{1}{log_a(c-b)}=2\\cfrac{1}{log_a(c+b)}\\times\\cfrac{1}{log_a(c-b)}\\)，
两边同乘以\\(log_a(c+b)\\cdot log_a(c-b)\\)，
去分母得到\\(log_a(c+b)+log_a(c-b)=2\\)，即\\(log_a(c^2-b^2)=2\\)，
则有\\(a^2=c^2-b^2\\)，即\\(a^2+b^2=c^2\\)，
三角形\\(ABC\\) 的形状为\\(\\underline{直角}\\)三角形。
分析：\\(cos^2\\cfrac{B}{2}=\\cfrac{1+cosB}{2}\\)，又已知\\(cos^2\\cfrac{B}{2}=\\cfrac{a+c}{2c}\\)，
则\\(\\cfrac{1+cosB}{2}=\\cfrac{a+c}{2c}\\)，化简得到\\(c(1+cosB)=a+c\\)，
变形得到\\(cosB=\\cfrac{a}{c}\\)，即\\(\\cfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\\cfrac{a}{c}\\)，即\\(a^2+c^2-b^2=2a^2\\)；
即\\(a^2+b^2=c^2\\)，故三角形\\(ABC\\) 的形状为\\(\\underline{直角}\\)三角形。选B。
法1：角化边，\\(\\cfrac{c}{b}<\\cfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\\)，
即\\(b^2+c^2-a^2<2c^2\\)，即\\(a^2+c^2-b^2<0\\)，
故\\(cosB=\\cfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}<0\\)，故故是钝角三角形，选\\(A\\)。
法2：边化角，由\\(\\cfrac{c}{b}<cosA\\)，得到\\(\\cfrac{sinC}{sinB}<cosA\\)，
即\\(sinC<cosAsinB\\)，即\\(sin(A+B)<cosAsinB\\)，打开整理为
\\(sinAcosB<0\\)，由于\\(sinA>0\\)，则\\(cosB<0\\)，故是钝角三角形，选\\(A\\)。
(1)求角\\(A\\)的大小；
分析：由于\\(2a\\cdot sinA=(2b-c)sinB+(2c-b)sinC\\)，角化边得到，
\\(2a^2=(2b-c)b+(2c-b)c\\)，整理即\\(bc=b^2+c^2-a^2\\)，
故\\(cosA=\\cfrac{1}{2}\\)，又\\(A\\in (0，\\pi)\\)，故\\(A=60^{\\circ}\\)。
(2)若\\(sinB+sinC=\\sqrt{3}\\)，试判断\\(\\Delta ABC\\)的形状。
分析：由于\\(A=60^{\\circ}\\)，故\\(B+C=120^{\\circ}\\)，
由\\(sinB+sinC=\\sqrt{3}\\)，即\\(sinB+sin(120^{\\circ}-B)=\\sqrt{3}\\)，
打开整理得到，\\(sin(B+30^{\\circ})=1\\)，
由于\\(B\\in (0^{\\circ}，120^{\\circ})\\)，则\\(B+30^{\\circ}\\in (30^{\\circ}，150^{\\circ})\\)，
故\\(B+30^{\\circ}=90^{\\circ}\\)，即\\(B=60^{\\circ}\\)，所以三角形为正三角形。
分析：由于\\(sin(A+B)=sinC\\)，两边约分，得到\\(sin(A-B)=sinC=sin(A+B)\\)，
打开整理得到，\\(2cosAsinB=0\\)，由于\\(sinB\\neq 0\\)，
故\\(cosA=0\\)，即\\(A=\\cfrac{\\pi}{2}\\)，故为直角三角形，选\\(B\\)。
分析：由\\(sinA\\cdot cosA=\\cfrac{\\sqrt{3}}{4}\\)，可得到\\(sin2A=\\cfrac{\\sqrt{3}}{2}\\)，则\\(A=\\cfrac{\\pi}{6}\\)或\\(A=\\cfrac{\\pi}{3}\\)，
又由题设\\(tanA+tanB+\\sqrt{3}=\\sqrt{3}tanA\\cdot tanB\\)，得到\\(tanA+tanB=\\sqrt{3}tanA\\cdot tanB-\\sqrt{3}\\)，代入
\\(tanC=-tan(A+B)=-\\cfrac{tanA+tanB}{1-tanA\\cdot tanB}=\\sqrt{3}\\)，由\\(C\\in(0，\\pi)\\)得到\\(C=\\cfrac{\\pi}{3}\\)，
故由此判断只能是\\(A=\\cfrac{\\pi}{3}\\)，否则\\(B=\\cfrac{\\pi}{2}\\)，使得\\(tanB\\)无意义；
则得到\\(B=\\cfrac{\\pi}{3}\\)，故三角形为等边三角形，选\\(D\\).
分析：由\\(\\cfrac{a}{cosA}=\\cfrac{a}{cosB}\\)，得到\\(cosA=cosB\\)，由于\\(y=cosx\\)在\\((0,\\pi)\\)上单递，故\\(A=B\\)，即\\(a=b\\)，
则原式可变形为\\(\\cfrac{a}{cosA}=\\cfrac{b}{cosB}=\\cfrac{c}{cosC}\\)，令\\(\\cfrac{a}{cosA}=\\cfrac{b}{cosB}=\\cfrac{c}{cosC}=k\\)，
则\\(a=k\\cdot cosA\\)，\\(b=k\\cdot cosB\\)，\\(c=k\\cdot cosC\\)，由正弦定理可得，
\\(a=k\\cdot cosA=2RsinA\\)，\\(b=k\\cdot cosB=2RsinB\\)，\\(c=k\\cdot cosC=2RsinC\\)，
则\\(tanA=\\cfrac{sinA}{cosA}=\\cfrac{k}{2R}\\)，\\(tanB=\\cfrac{sinB}{cosB}=\\cfrac{k}{2R}\\)，\\(tanC=\\cfrac{sinC}{cosC}=\\cfrac{k}{2R}\\)，
则\\(tanA=tanB=tanC\\)，又由于函数\\(y=tanx\\)在区间\\((0,\\cfrac{\\pi}{2})\\)上单调递增，
故\\(A=B=C\\)，则选\\(D\\)。
分析：\\(sinB\\cdot sinC=cos^2\\cfrac{A}{2}=\\cfrac{1+cosA}{2}\\)，
则\\(2sinB\\cdot sinC=1+cosA=1-cos(B+C)\\)，
即\\(cos(B+C)-2sinB\\cdot sinC=1\\)，整理得到\\(cos(B-C)=1\\)，
由于\\(B，C\\)为三角形的内角，故\\(B=C\\)，
又由于\\(sin^2B+sin^2C=sin^2A\\)，则\\(b^2+c^2=a^2\\)，
故\\(\\triangle ABC\\)的形状为等腰直角三角形，故选\\(D\\)。
法一： 采用边化角的策略，求解三角方程得到，
已知等式可化为 \\(a^{2}[\\sin(A-B)-\\sin(A+B)]\\)\\(=b^{2}[-\\sin(A+B)-\\sin(A-B)]\\)
所以 \\(2a^{2}\\cos A\\sin B=2b^{2}\\cos B\\sin A\\)
由正弦定理，上式可转化为
\\(\\sin^{2}A\\cos A\\sin B=\\sin ^{2}B\\cos B\\sin A\\)
所以 \\(\\sin A\\sin B(\\sin A\\cos A-\\sin B\\cos B)=0\\)
因为 \\(A, B\\) 均为 \\(\\triangle A B C\\) 的内角，所以 \\(\\sin A \\neq 0, \\quad \\sin B \\neq 0\\),
所以 \\(\\sin A\\cos A-\\sin B\\cos B=0\\), 即 \\(\\sin 2A=\\sin 2B\\).
由 \\(A, B\\in(0, \\pi)\\) 得0 \\(<2A<2\\pi, \\quad 0<2 B<2 \\pi\\), 得 \\(2A=2B\\) 或 \\(2A+2B=\\pi\\),
即 \\(A=B\\) 或 \\(A+B=\\cfrac{\\pi}{2}\\).
所以 \\(\\triangle ABC\\) 为等腰三角形或直角三角形，故选 \\(D\\).
法二：采用角化边的策略，求解代数方程得到。
由法一， 可得 \\(2a^{2}\\cos A\\sin B=2b^{2}\\cos B\\sin A.\\)
由正弦、余弦定理，可得 \\(a^{2}\\times\\cfrac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}\\times b=b^{2}\\times\\cfrac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}\\times a.\\)
所以 \\(a^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2})=b^{2}(a^{2}+c^{2}-b^{2})\\)
即 \\((a^{2}-b^{2})(a^{2}+b^{2}-c^{2})=0.\\) 所以 \\(a=b\\) 或 \\(a^{2}+b^{2}=c^{2}\\),
所以 \\(\\triangle ABC\\) 为等腰三角形或直角三角形，故选 \\(D\\).