平衡二叉树讲解

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了平衡二叉树讲解相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

注：能用STL就尽量用STL

平衡二叉树（Balanced Binary Tree），又根据它的发明者命名为AVL树。

它或者是一颗空树，或者具有以下性质的二叉树：它的左子树和右子树的深度之差的绝对值不超过1，且它的左子树和右子树都是一颗平衡二叉树。

平衡因子(bf)：结点的左子树的深度减去右子树的深度，那么显然-1<=bf<=1;

 

相关的算法有红黑树、AVL、Treap、伸展树(Splay)、SBT等。

一、AVL算法

直接上图,清晰明了，分类讨论四种情况就行了。

技术分享

 

二、伸展树(Splay)

(详细)http://blog.csdn.net/niuox/article/details/8018280

//kuangbin伸展树(Splay)模板
#define Key_value ch[ch[root][1]][0]
const int MAXN = 500010;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int pre[MAXN],ch[MAXN][2],key[MAXN],size[MAXN];
int root,tot1;
int sum[MAXN],rev[MAXN],same[MAXN];
int lx[MAXN],rx[MAXN],mx[MAXN];
int s[MAXN],tot2;//内存池和容量
int a[MAXN];
int n,q;
//debug部分**********************************
void Treavel(int x)
{
    if(x)
    {
        Treavel(ch[x][0]);
        printf("结点：%2d: 左儿子 %2d 右儿子 %2d 父结点 %2d size
               = %2d\\n",x,ch[x][0],ch[x][1],pre[x],size[x]);
        Treavel(ch[x][1]);
    }
}
void debug()
{
    printf("root:%d\\n",root);
    Treavel(root);
}
//以上是debug部分**************************************
void NewNode(int &r,int father,int k)
{
    if(tot2) r = s[tot2--];//取的时候是tot2--,存的时候就是++tot2
    else r = ++tot1;
    pre[r] = father;
    ch[r][0] = ch[r][1] = 0;
    key[r] = k;
    sum[r] = k;
    rev[r] = same[r] = 0;
    lx[r] = rx[r] = mx[r] = k;
    size[r] = 1;
}
void Update_Rev(int r)
{
    if(!r)return;
    swap(ch[r][0],ch[r][1]);
    swap(lx[r],rx[r]);
    rev[r] ^= 1;
}
void Update_Same(int r,int v)
{
    if(!r)return;
    key[r] = v;
    sum[r] = v*size[r];
    lx[r] = rx[r] = mx[r] = max(v,v*size[r]);
    same[r] = 1;
}
void push_up(int r)
{
    int lson = ch[r][0], rson = ch[r][1];
    size[r] = size[lson] + size[rson] + 1;
    sum[r] = sum[lson] + sum[rson] + key[r];
    lx[r] = max(lx[lson],sum[lson] + key[r] + max(0,lx[rson]));
    rx[r] = max(rx[rson],sum[rson] + key[r] + max(0,rx[lson]));
    mx[r] = max(0,rx[lson]) + key[r] + max(0,lx[rson]);
    mx[r] = max(mx[r],max(mx[lson],mx[rson]));
}
void push_down(int r)
{
    if(same[r])
    {
        Update_Same(ch[r][0],key[r]);
        Update_Same(ch[r][1],key[r]);
        same[r] = 0;
    }
    if(rev[r])
    {
        Update_Rev(ch[r][0]);
        Update_Rev(ch[r][1]);
        rev[r] = 0;
    }
}
void Build(int &x,int l,int r,int father)
{
    if(l > r)return;
    int mid = (l+r)/2;
    NewNode(x,father,a[mid]);
    Build(ch[x][0],l,mid-1,x);
    Build(ch[x][1],mid+1,r,x);
    push_up(x);
}
void Init()
{
    root = tot1 = tot2 = 0;
    ch[root][0] = ch[root][1] = size[root] = pre[root] = 0;
    same[root] = rev[root] = sum[root] = key[root] = 0;
    lx[root] = rx[root] = mx[root] = -INF;
    NewNode(root,0,-1);
    NewNode(ch[root][1],root,-1);
    for(int i = 0; i < n; i++)
        scanf("%d",&a[i]);
    Build(Key_value,0,n-1,ch[root][1]);
    push_up(ch[root][1]);
    push_up(root);
}
//旋转,0为左旋，1为右旋
void Rotate(int x,int kind)
{
    int y = pre[x];
    push_down(y);
    push_down(x);
    ch[y][!kind] = ch[x][kind];
    pre[ch[x][kind]] = y;
    if(pre[y])
        ch[pre[y]][ch[pre[y]][1]==y] = x;
    pre[x] = pre[y];
    ch[x][kind] = y;
    pre[y] = x;
    push_up(y);
}
//Splay调整，将r结点调整到goal下面
void Splay(int r,int goal)
{
    push_down(r);
    while(pre[r] != goal)
    {
        if(pre[pre[r]] == goal)
        {
            push_down(pre[r]);
            push_down(r);
            Rotate(r,ch[pre[r]][0] == r);
        }
        else
        {
            push_down(pre[pre[r]]);
            push_down(pre[r]);
            push_down(r);
            int y = pre[r];
            int kind = ch[pre[y]][0]==y;
            if(ch[y][kind] == r)
            {
                Rotate(r,!kind);
                Rotate(r,kind);
            }
            else
            {
                Rotate(y,kind);
                Rotate(r,kind);
            }
        }
    }
    push_up(r);
    if(goal == 0) root = r;
}
int Get_kth(int r,int k)
{
    push_down(r);
    int t = size[ch[r][0]] + 1;
    if(t == k)return r;
    if(t > k)return Get_kth(ch[r][0],k);
    else return Get_kth(ch[r][1],k-t);
}
//在第pos个数后面插入tot个数
void Insert(int pos,int tot)
{
    for(int i = 0; i < tot; i++)scanf("%d",&a[i]);
    Splay(Get_kth(root,pos+1),0);
    Splay(Get_kth(root,pos+2),root);
    Build(Key_value,0,tot-1,ch[root][1]);
    push_up(ch[root][1]);
    push_up(root);
}
//删除子树
void erase(int r)
{
    if(!r)return;
    s[++tot2] = r;
    erase(ch[r][0]);
    erase(ch[r][1]);
}
//从第pos个数开始连续删除tot个数
void Delete(int pos,int tot)
{
    Splay(Get_kth(root,pos),0);
    Splay(Get_kth(root,pos+tot+1),root);
    erase(Key_value);
    pre[Key_value] = 0;
    Key_value = 0;
    push_up(ch[root][1]);
    push_up(root);
}
//将从第pos个数开始的连续的tot个数修改为c
void Make_Same(int pos,int tot,int c)
{
    Splay(Get_kth(root,pos),0);
    Splay(Get_kth(root,pos+tot+1),root);
    Update_Same(Key_value,c);
    push_up(ch[root][1]);
    push_up(root);
}
//将第pos个数开始的连续tot个数进行反转
void Reverse(int pos,int tot)
{
    Splay(Get_kth(root,pos),0);
    Splay(Get_kth(root,pos+tot+1),root);
    Update_Rev(Key_value);
    push_up(ch[root][1]);
    push_up(root);
}
//得到第pos个数开始的tot个数的和
int Get_Sum(int pos,int tot)
{
    Splay(Get_kth(root,pos),0);
    Splay(Get_kth(root,pos+tot+1),root);
    return sum[Key_value];
}
//得到第pos个数开始的tot个数中最大的子段和
int Get_MaxSum(int pos,int tot)
{
    Splay(Get_kth(root,pos),0);
    Splay(Get_kth(root,pos+tot+1),root);
    return mx[Key_value];
}
void InOrder(int r)
{
    if(!r)return;
    push_down(r);
    InOrder(ch[r][0]);
    printf("%d ",key[r]);
    InOrder(ch[r][1]);
}
int main()
{
    while(scanf("%d%d",&n,&q) == 2)
    {
        Init();
        char op[20];
        int x,y,z;
        while(q--)
        {
            scanf("%s",op);
            if(strcmp(op,"INSERT") == 0)
            {
                scanf("%d%d",&x,&y);
                Insert(x,y);
            }
            else if(strcmp(op,"DELETE") == 0)
            {
                scanf("%d%d",&x,&y);
                Delete(x,y);
            }
            else if(strcmp(op,"MAKE-SAME") == 0)
            {
                scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
                Make_Same(x,y,z);
            }
            else if(strcmp(op,"REVERSE") == 0)
            {
                scanf("%d%d",&x,&y);
                Reverse(x,y);
            }
            else if(strcmp(op,"GET-SUM") == 0)
            {
                scanf("%d%d",&x,&y);
                printf("%d\\n",Get_Sum(x,y));
            }
            else if(strcmp(op,"MAX-SUM") == 0)
                printf("%d\\n",Get_MaxSum(1,size[root]-2));
        }
    }
    return 0;
}

 

三、treap（树堆）

http://www.cnblogs.com/huangxincheng/archive/2012/07/30/2614484.html

以上是关于平衡二叉树讲解的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章

树总结（二）平衡二叉树

平衡二叉树的构建

如果构建平衡二叉树？

数据结构：查找|| 平衡二叉树

漫画：什么是平衡二叉树？

平衡二叉树