读书笔记: 博弈论导论 - 06 - 混合的策略

Posted 2020-10-19 想想你应该干什么

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读书笔记: 博弈论导论 - 06 - 完整信息的静态博弈混合的策略

混合的策略

本文是Game Theory An Introduction (by Steven Tadelis) 的学习笔记。

策略，信念和期望收益

混合策略
玩家i的有限纯策略集合\$S_i = {s_{i1}, s_{i2}, \\cdots, s_{im}}\$。
将\$\\Delta S_i\$定义为\$S_i\$的单纯形，是在\$S_i\$上所有概率分布的集合。
玩家i的一个混合策略(mixed strategy)是\$\\sigma_i \\in \\Delta S_i\$，

\\[\\sigma_i = (\\sigma_i(s_{i1}), \\sigma_i(s_{i2}), \\cdots, \\sigma_i(s_{im})) \\\\ where \\\\ \\sigma_i(s_{i}) \\text{ : the probability that player i plays s_{i}} \\]

两个明显的条件:

\\[\\sigma_i(s_{i}) \\geq 0, \\forall s_i \\in S_i \\\\ \\sum_{s_i \\in S_i} \\sigma_i(s_{i}) = 1 \\]

\$\\Delta S_i\$的例子：(rock-paper-scissor)
\$\\Delta S_i\$ = {(\\sigma_i(R), \\sigma_i(P), \\sigma_i(S)) : \\sigma_i(R), \\sigma_i(P), \\sigma_i(S) \\geq 0, \\sigma_i(R) + \\sigma_i(P) + \\sigma_i(S) = 1}\$ 表示所有\$(\\sigma_i(R), \\sigma_i(P), \\sigma_i(S))$对，使得每个值都大于等于0，并且每个值的和为1。
\$\\sigma(\\dot)\$支持策略\$s_i\$(\$s_i\$ is in the support of \$\\sigma(\\dot)\$)
给定一个玩家i的混合策略\$\\sigma(\\dot)\$，如果\$\\sigma(s_i) > 0\$，则称\$\\sigma(\\dot)\$支持纯策略\$s_i\$。
连续策略集的混合策略
玩家i的纯策略集合\$S_i\$是一个值区间，则玩家i的一个混合策略是累积分布函数\$F_i : S_i \\to [0, 1], \\ where \\ F_i(x) = Pr{s_i < x>}\$。
如果\$F_i(\\dot)\$在密度\$f_i(\\dot)\$上可微分，并且\$f_i(\\dot) > 0\$，则称\$F_i(\\dot)\$支持纯策略\$s_i\$。
信念(belief)
信念\$\\pi_i \\in \\Delta S_{-i}\$代表玩家i认为对手采用\$s_{-i} \\in S_{-i}\$的概率。
期望收益(Expected Payoffs)
玩家i选择策略\$s_i \\in S_i\$，并且对手选择混合策略\$\\sigma_{-i} \\ \\Delta_{-i}\$，的期望收益:

\\[v_i(s_i, \\sigma_{-i}) = \\sum_{s_{-i} \\in S_{-i}} \\sigma_{-i}(s_{-i}) v_i(s_i, s_{-i}) \\]

玩家i选择混合策略\$\\sigma_i \\in \\Delta S_i\$，并且对手选择混合策略\$\\sigma_{-i} \\ \\Delta_{-i}\$，的期望收益:

\\[v_i(\\sigma_i, \\sigma_{-i}) = \\sum_{s_{i} \\in S_{i}} \\sigma_{i}(s_{i}) v_i(s_i, s_{-i}) = \\sum_{s_i \\in S_i} ( \\sum_{s_{-i} \\in S_{-i}} \\sigma_{i}(s_{i}) \\sigma_{-i}(s_{i-}) v_i(s_i, s_{-i}) ) \\]

混合策略的纳什均衡
混合策略组合\$\\sigma^* = (\\sigma_1^*, \\sigma_2^*, \\cdots, \\sigma_n^*)\$是一个纳什策略，如果对于每个玩家\$\\sigma_i^*\$都是最佳响应。

\\[v_i(\\sigma_i^*, \\sigma_{-i}^*) \\geq v_i(\\sigma_i, \\sigma_{-i}^*), \\ \\forall \\sigma_i \\in \\Delta S_i \\]

推论 6.1

如果\$\\sigma^*\$是一个纳什博弈，并且\$\\sigma^*支持\$s_i\$和\$s\'i\$,则 \$v_i(s_i, \\sigma{-i}^) = v_i(s\'i, \\sigma{-i}^) = v_i(\\sigma^, \\sigma_{-i}^)$

Rock-Paper-Scissor

断言 6.1:

如果一个玩家选择纯策略，另一个玩家选择混合策略，则不存在纳什均衡。

断言 6.2:

如果至少有一个玩家选择只有两个纯策略的混合策略，则不存在纳什均衡。

严格劣势策略的迭代消除和可合理化(IESDS and Rationalizability)

严格劣势
\$s\'_i \\in S_i\$严格劣势于\$\\sigma_i \\in \\Delta S_i\$，如果满足条件：

\\[v_i(\\sigma_i, s_{-i}) > v_i(s\'_i, s_{-i}), \\ \\forall s_{-i} \\in S_{-i} \\\\ \\]

不可能是一个最佳响应
对于玩家i的混合策略\$\\sigma_i \\in \\Delta S_i\$，这个混合策略作为最佳响应的对手混合策略\$\\sigma_i \\in BR_i(\\sigma_{-1})\$，如果对手的任何混合策略\$\\sigma_{-1} \\in \\Delta S_{-i}\$都不在玩家i的信念中，则\$\\sigma_i \\in \\Delta S_i\$不可能是一个最佳响应。

断言

一个劣势混合策略\$sigma_i\$不可能是一个最佳响应。

推论 6.2

任何两人博弈中，策略\$sigma_i\$是一个严格劣势纯策略，当且仅当策略\$sigma_i\$不可能是一个最佳响应。

纳什存在定理

纳什存在定理(Nash\'s existence Theorem)

任何普通形式、具有限策略集合的博弈存在一个纳什均衡的混合策略。
纳什存在定理的证明用到了不动点定理。

布劳威尔不动点定理(Brouwer\'s Fixed-Point Theorem)

如果f(x)是一个连续函数从域[0, 1]到[0, 1]\$f:[0, 1] \\to [0, 1]\$,则存在至少一个点\$f(x^*) = x^*, x^* \\in [0, 1]\$。
证明过程简介：连续函数f(x)一定和函数\$f_1(x) = x\$至少有一个交点。

最佳响应对应(collection of best response correspondence)
最佳响应对应集合\$BR \\equiv BR_1 \\times BR_2 \\times \\cdots \\times BR_n\$，映射$\\Delta S \\equiv \\Delta S_1 \\times \\Delta S_2 \\times \\cdots \\times \\Delta S_n $ 到自身。
也就是说：\$BR : \\Delta S \\rightrightarrows \\Delta S\$, \$BR(\\sigma) \\subset \\Delta S, \\ for \\ \\sigma \\in \\Delta S\$

角谷不动点定理(Kakutani Fixed-Point Theorem)

一个对应\$C: X \\rightrightarrows X\$有一个不动点，如果以下四个条件都满足：

X是非空的，紧凑的，\$\\mathbb{R}^n\$的凸子集

C(x)对于所有的x都非空。

C(x)对于所有的x都是凸的。

C有一个闭合图。

凸的(convex)
集合\$X \\subseteq \\mathbb{R}^n\$是凸的，如果集合X中任何两点的连线上的点都在集合X中。
闭合的(closed)
集合\$X \\subseteq \\mathbb{R}^n\$是闭合的，如果集合X边缘点在集合X中。(0, 1]是非闭合的，[0, 1]是闭合的。
紧凑的(compact)
集合\$X \\subseteq \\mathbb{R}^n\$是紧凑的，如果集合X是闭合并且有界。[0, 1]是紧凑的，\$[0, \\infty]\$是非紧凑的。
闭合图(closed graph)
图\$C: X \\rightrightarrows X\$是闭合图, 如果C是闭合的。