【Right集合】
后缀自动机真正优于后缀树的方面在于:结合了有限状态自动机,从而实现了O(n)的时空复杂度。
trans(s,str)表示s+str到达的状态。
ST(str)=trans(init,str)即包括了str这一子串的唯一状态(一个子串只能属于一个状态)
定义字符串a在S中出现的右端点位置集合Right(a)=r1,r2...rn。
SAM中一个状态s的Right集合为Right(s),那么状态s表示所有[Right(a)=Right(s)的子串a],那么实际上状态s表示的子串a的长度在一个区间内,记作[Min(s),Max(s)]。字符串越短,Right集合越大。
容易证明对于任意状态a和b,Right(a)和Right(b)要么包含要么不相交。(很显然的结论,只是论文的证明比较严格化)
★在后缀自动机中,一个状态s(或称“节点s”)表示的是Right(a)=Right(s)的若干子串a,其长度区间为[MIn(s),Max(s)],从而达到状态数O(n)的目的。
Right集合形成的树形包含关系称为Parent Tree,树边由孩子指向父亲,是SAM中的失配边。
Parent树从上往下,子串长度扩大,Right集合变小,父节点的Right集合包含子节点的Right集合。
fa=Parent(s)当且仅当fa是使Right(fa)最小且满足Right(s)?Right(fa)的结点,(从儿子到父亲,就是子串稍微缩短,Right集合变大)
另有Max(fa)=Min(s)-1,实质上是要求fa和s之间没有一个Right子集x满足Right(s)?Right(x)?Right(fa)。
【线性构造SAM】
线性构造采用增量法,即已知字符串T的SAM(T),L=Len(T),在末尾加入字符x,构造SAM(Tx),转移如下:
①实边转移规则:t=trans(s,x)表示s--->t标号为x的边,若Right(s)={r1,r2...rn},则Right(t)={ri+1|s[ri+1]=x}。
②虚边转移规则:Parent树边满足Right(s)?Right(fa),Max(fa)=Min(s)-1(含义如上所述)
加入x,考虑所有Right集合包含L的结点v1,v2...vk,显然它们在Parent树上是一条从根到叶子的链。
定义叶子结点v1=p=ST(T)(即p代表整个串),Right(p)={L},不妨它们从后代到祖先排为v1=p...vk=root。
同时新建结点np=ST(Tx),Right(np)={L+1}。
考虑节点v,Right(v)={r1,r2...rn=L}
根据转移规则①,如果除了rn外不存在S[ri+1]=x,那么节点v不存在trans(v,x)。
根据转移规则②,越往上Right集合逐渐扩大直至节点vp存在trans(vp,x),那么v1~vp-1只须向np连出标号为x的边(np=trans(v,x)),而vp~vk都已经存在trans(v,x)。
令trans(vp,x)=q,当Max(q)=Max(vp)+1时,只须在q的Right集合中插入L+1。
下面重点讨论Max(q)>Max(vp)+1的情况。