线性化微分数学解释Einstein狭义相对论质能方程E=MC^2

Posted 2020-10-18 zhangphil

线性化微分数学解释Einstein狭义相对论质能方程E=MC^2

要理解爱因斯坦在狭义相对论中的质能方程是如何推导出来的，需要先了解数学中的微分方程及其线性化方程的知识。现在先从最简单的微分方程开始。以简单的曲线方程y=x*x和它的切线方程为例。假设取y=x*x上一点(1,1)，过(1,1)点的切线方程很容易求得，根据一般的过曲线上点（a,f(a)）的切线方程公式：

f(x)=f’(a)(x-a)+f(a)

最终求得y=2*x-1

在笛卡尔坐标系中用MATLAB画出y=x*x和y=2*x-1的图形：

代码：

x=[0.5:0.1:1.5];    
y=2*x-1;     
plot(x,y,'r','LineWidth',0.5)  
hold on;  
  
y=x.^2;  
plot(x,y,'g','LineWidth',0.5)  
hold on;  
  
grid on;  

图：

 

 

如上图所示，观察绿色曲线y=x*x与红色直线y=2*x-1在(1,1)点附近的值变化情况，如果当y=x*x与y=2*x-1无限在(1,1)接近时候，虽然y=x*x本身是曲线方程但此时已经趋于演变成一条直线，该直线无限近似于y=2*x-1但又不等于y=2*x-1。

即在一定范围内的有意义定义域（a-∆x,a+∆x），当∆x趋近于0，此时y=x*x 约等于 y=2*x-1，这在微分数学中称之为方程f(x)在(a,f(a))的标准线性近似化。显然，线性近似直线方程的值和f(x)的真值之间存在精度上的误差，误差程度取决于∆x与0的接近程度。如果∆x无限接近趋于0时候，线性化的值和真值几乎一致，但如果∆x与a距离较远，那么线性化的方程y=2*x-1就因为太粗糙而失去近似等于f(x)的意义。

最终，引出一条数学的定义：如果f在x=a可微，那么近似方程：

L(x)=f’(a)(x-a)+f(a)          (公式1)

即f(x)在a的线性化。L(x)是过(a,f(a))的切线方程，为线性直线方程。为什么要求出一个曲线方程f(x)的近似线性方程呢？在本例中曲线方程为y=x*x，确实毫无必要，但是数学方程并不都是像y=x*x这么简单，在一些复杂的高阶曲线方程中诸如f(x)=a*x^n+b*x^(n-1)+…+M，这样的方程中，在某点的值计算起来非常复杂，而对其进行线性化近似，得到某点的线性化方程后，计算问题变得非常简单，因为线性方程是最简单的。要注意这里面的数学思想，把一个复杂难以求解的问题转变为简单易处理的问题进行解决。

给出一个常用的幂函数线性结构：

          (公式2）

 

在笛卡尔坐标系上的x轴，x有变化量∆x，在y轴上同样存在变化量∆y。同样的，对于线性直线方程L(x)从a变化为a+∆x后，在y坐标轴即∆L（或者认为是∆y）的变化是多少呢？带入近似线性方程（公式1）计算差值：

L(a+∆x)= f’(a)(a+∆x-a)+f(a)= f’(a)∆x+f(a)

L(a)=f’(a)(a-a)+f(a)= f’(a)*0+f(a)=f(a)

得出∆L=L(a+∆x)-L(a)= f’(a)∆x+f(a)- f(a)=f’(a)∆x+0= f’(a)∆x

即∆L= f’(a)∆x

对于一般的方程，也即∆L= f’(a)∆x

此处引出一个数学定义：

如果f(x)在x=a可微，那么当x从a变化到a+∆x时，f(x)的近似变化∆y为：

∆y= f’(a)∆x        

以上为数学知识准备，现在利用上述数学预备知识解释爱因斯坦的质能方程式。

物理学中，牛顿（Newton）第二定律定义为：

 

其中m为质量，此定义认为m是不变的常量，但此近代物理学中可知m的值不是不变的，而是随着物体速度变化而发生变化。爱因斯坦的研究结果，重新定义了物体质量和速度之间的关系式：

          (等式3)

 

c为光速是常值c=3*10^8。v为物体的运动速度。m0为变化后的物体新质量。

设x=v/c，根据微分方程的标准线性化估计，x=v/c趋近于0，结合公式2，那么等式3中m0的系数：

把这个结果重新代回到等式3中，得到：

 （等式4）

 

根据物理学的动量方程式知道物体的能量与质量和速度存在一定等式关系，能量E等于质量m乘以速度v的平方除以2，即动量公式：

 

对等式4变形，并结合使用动量公式得到：

最终：

其中，∆m为质量变化，c为光速，c是一个很大的常量值，E为能量，这就是著名的爱因斯坦质能方程式。从这个质能方程式中可以看出，物体质量的微小改变∆m，就会产生极大的能量E，这为后来的原子弹研制奠定了数学和物理上的理论基础。