02 导数悖论

Posted 2020-10-18 郭老猫

视频原址：https://www.bilibili.com/video/av10352133/

导数到底是什么？

有一种说法是，导数就是函数的瞬时变化率。

但是这种说法有一个悖论，变化需要一个时间段让变化发生。而瞬时，一个时间点上也就没有变化的余地了。

 

我们还是从之前的小汽车的例子中探寻导数的意义。

我们让一辆小汽车从静止到加速，然后减速最后停止。

这个过程中，总共向前走了100米，用时10秒。

我们以用时为x轴，以汽车前进的距离为y轴，那么汽车整个移动的过程可以得到如下图形：

这个图形中

前段速度较慢，曲线变化十分缓慢。

中段速度最快，曲线变化十分陡峭。

后段速度表面，曲线变化又十分缓慢了。

如果我们把汽车的速度变化曲线画出来，那么就会得到下图：

距离的曲线，跟速度的曲线是有着相互的关系的。如果距离曲线发生变化了，速度曲线也会随之产生相应的变化比如：

这个速度曲线到底代表了什么呢？

速度的定义是一段时间内的位移变化，但是在我们的速度曲线中，只需要一个x值，就能找到对应的速度。这不是很矛盾吗？

视频告诉我们，当年微积分的创始者们也产生了相同的思维冲突。

让我们用上一节中使用过的方法重新思考一下这个问题。

每隔很微小的时间取名为dt，比如0.01秒，测量在这微小时间内产生的微小位移ds。

那么t时间的速度可以近似的看做ds/dt。

ds=s(t+dt)-s(t)

ds/dt=(s(t+dt)-s(t))/dt

当dt无限无限接近0时，这个比值的极限就是这个汽车位移函数的导数。

幸运的是，这个比值在图像的角度，这个比值的极限有个精妙的意义。

当我们为t和dt设置一个具体的值的时候，我们很容易的发现，ds/dt就是图像上两点的直线斜率。

 当dt越近于0的时候，两点的斜率就越接近图像位于t点的斜线的斜率。

 所以导数在数学上的真正意义就是经过图像上的点时的斜率。

这样就避开瞬时变化率这样自相矛盾的定义了。

这里的dt不是0，也不是无限接近于0。理解他为一个很小的值，小到t与t+dt的直线斜率与t点上的切线斜率近似相等。

这个切线也不要看做函数在某一点上的瞬时变化率，而应该看作是某一点附近的变化率的最佳近似值。

 

在这个例子中，dt都有一个明确的值（比如0.01），ds/dt也能通过分式求得一个具体的值，这样为了方便理解我们的推导我们的概念。

在数学的世界里，当使用d这个字母的时候，就代表他的取值无限接近于0。而ds/dt也不是求一个除法。而是当dt无限接近于0的时候，这个分式(ds/dt)的极限值。

 

现在我们假设时间与距离的函数正好是一元三次方函数y=x³

那么该如何求导呢？

其实很简单。

ds=(x+dx)³-x³

=x³+2x²dx+2xdx²+dx³-x³

=2x²dx+2xdx²+dx³

ds/dx=2x²+2xdx+dx²

当dx接近0时，ds/dx越来越接近于2x²

 

这是通过数学的方式证明求导公式，后面将讲解用几何的形式更加直观的理解求导公式。

 

ds/dt也就是函数的求导，与函数之间有什么关系呢？

还记得上一节的课程吗？

我们通过求导得到的函数图像，函数线下的面积就是汽车走过的总距离。

可是在这里我们已经知道了汽车走了100米了啊？

时刻牢记这些信息，仔细把玩他们之间的微妙关系，后面的课程将逐渐深入探讨这些问题。