BZOJ 3224 Tyvj 1728 普通平衡树 | Splay 板子

Posted 2020-10-18 MSPqwq

下面给出Splay的实现方法(复杂度证明什么的知道是 nlogn 就可以啦)

 首先对于一颗可爱的二叉查找树,是不能保证最坏nlogn的复杂度(可以想象把一个升序序列插入)

(二叉查找树保证左子树元素大小都小于根元素大小,根元素大小都小于右子树元素大小,且子树都是二叉查找树)

所以我们需要一些非常巧妙的旋转操作 (ratate)来优化这棵树(并让他改名叫Splay)

 (图片顺序全反了2333)

1.节点 x 的父节点 y 是根节点。这时，如果 x 是 y 的左孩子，我们进行一次 Zig （右旋）操作；如果 x 是 y 的右孩子，则我们进行一次 Zag（左旋）操作。经过旋转，x 成 为二叉查找树 S 的根节点，调整结束。

2.节点x 的父节点y 不是根节点，y 的父节点为z，且x 与y 同时是各自父节点 的左孩子或者同时是各自父节点的右孩子。这时，我们进行一次Zig-Zig操作或者Zag-Zag操作。

3.节点x的父节点y不是根节点，y的父节点为z，x与y中一个是其父节点的左孩子 而另一个是其父节点的右孩子。这时，我们进行一次Zig-Zag操作或者Zag-Zig 操作

 在这个过程中我们完成了让x上移为的操作

假设我们已经领悟了这些操作,我们再学习一个Splay(x)函数让他不断调用Rotate,将x节点旋转到根节点,这样就完成了对SPlay的维护(实现比较简单,可以看代码)

非常重要的性质是,Rotate和Splay函数使得维护Splay树的时候无论以哪个节点为根,这棵树都是比较"优美"的(长得比较均匀)

下面着重讨论一下splay上的各种操作:

1.Find()

这个比较简单,我们只需要不断比较然后去左儿子或者右儿子即可

2.Insert()

 先去Splay里面找x,如果找到了的话直接x计数器++,没找到就新建一个节点

我们只要重点考虑一下怎么维护这棵树的其他性质(例如子树大小)

回到刚刚的Splay()操作,我们可以发现,每次旋转之后旋转的节点的子树大小是可更新的,且不受到之后的影响(具体可画图理解)

所以我们可以把这个节点(新建的或者以前的)直接Splay到根节点就完成了维护

3.Getmax/min

额...直接不停往左或者往右即可

4.Earse

 先考虑删除根节点(因为其他节点都是能移到根节点的)根节点的删除对子树信息没影响,所以可以直接删

然后现在剩下了两棵小树,我们只需要让一棵树接到另一棵树上即可,而这等价于让一棵树根节点的一个儿子为空

我们可以把左子树的最大儿子转到根,这样左子树的右儿子就是空的了,把右子树根节点接过去即可

5.getkth

利用计数器往左往右查找即可

6.getrank

 这个别想得太复杂,直接把他转到根节点,左子树大小+1就是排名

7.getpre/nxt(找前驱后继)

转到根节点,然后直接找左子树最大值(右子树最小值)

 

讲到这里基本操作就OK啦,看看代码就学会了SPlay!

---

  1 #include<cstdio>
  2 #include<algorithm>
  3 #include<cstring>
  4 #include<cmath>
  5 #define N 100010
  6 #define which(x) (ls[fa[(x)]]==(x))
  7 typedef long long ll;
  8 using namespace std;
  9 int n,root,idx,val[N],fa[N],ls[N],rs[N],sze[N],cnt[N];
 10 int read()
 11 {
 12     int ret=0,neg=1;
 13     char j=getchar();
 14     for (;j>\'9\' || j<\'0\';j=getchar())
 15     if (j==\'-\') neg=-1;
 16     for (;j>=\'0\' && j<=\'9\';j=getchar())
 17     ret=ret*10+j-\'0\';
 18     return ret*neg;
 19 }
 20 void upt(int x)//更新子树大小
 21 {
 22     sze[x]=sze[ls[x]]+sze[rs[x]]+cnt[x];
 23 }
 24 void rotate(int x)//旋转操作    
 25 {
 26     //y是x父亲,z是y父亲,b是y的另一个儿子
 27     int y=fa[x],z=fa[y],b=which(x)?rs[x]:ls[x],dir=which(y);
 28     which(x)?(rs[x]=y,ls[y]=b):(ls[x]=y,rs[y]=b);
 29     fa[y]=x,fa[b]=y,fa[x]=z;
 30     if (z) dir?ls[z]=x:rs[z]=x;
 31     upt(y),upt(x);//更新大小
 32 }
 33 void splay(int x)//把x旋转至根节点
 34 {
 35     //为了让树平衡,如果x和父亲同向,转fa[x]染红转x
 36     //否则转两次x
 37     while (fa[x])
 38     {
 39     if (fa[fa[x]])
 40         if (which(x)==which(fa[x])) rotate(fa[x]);
 41         else rotate(x);
 42     rotate(x);
 43     }
 44     root=x;//现在x是根了
 45 }
 46 int getmin(int x)//找以x为根子树最小值节点编号
 47 {
 48     while (ls[x]) x=ls[x];
 49     return x;
 50 }
 51 int getmax(int x)//找以x为根子树最大值节点编号
 52 {
 53     while (rs[x]) x=rs[x];
 54     return x;
 55 }
 56 int find(int x)//找值为x的节点没有则返回
 57 {
 58     int cur=root,last=0;
 59     while (cur && val[cur]!=x)
 60     {
 61     last=cur;
 62     if (x<val[cur]) cur=ls[cur];
 63     else cur=rs[cur];
 64     }
 65     return cur?cur:last;
 66 }
 67 void insert(int x)//插入x
 68 {
 69     int cur=find(x);//找到
 70     //如果已经存在x,把x++后splay成根节点
 71     if (cur && val[cur]==x) return (void)(cnt[cur]++,sze[cur]++,splay(cur));
 72     //如果不存在x就创造一个,然后splay
 73     val[++idx]=x,fa[idx]=cur,cnt[idx]=sze[idx]=1;
 74     if (cur) x<val[cur]?ls[cur]=idx:rs[cur]=idx;
 75     splay(idx);
 76 }
 77 void erase(int x)//删除值为x的节点
 78 {
 79     int cur=find(x);//保证存在
 80     splay(cur);//先把x转到根
 81     //如果x个数大于1,直接删掉就好
 82     if (cnt[cur]>1) cnt[cur]--,sze[cur]--;
 83     //如果有一个儿子节点为空,直接让另一个为根,如果都是空就说明树为空
 84     else if (!ls[cur] || !rs[cur]) root=ls[cur]+rs[cur],fa[root]=0;
 85     else
 86     {
 87     fa[ls[cur]]=0;//x的左儿子没爸爸了
 88     int u=getmax(ls[cur]);//让左子树最大值节点当新根节点,右子树的根节点是新根节点的右儿子
 89     splay(u);
 90     rs[u]=rs[cur],fa[rs[cur]]=u;
 91     upt(u);
 92     }
 93 }
 94 int getkth(int k)//寻找第k大,比较easy
 95 {
 96     int cur=root;
 97     while (cur)
 98     {
 99     if (sze[ls[cur]]>=k) cur=ls[cur];
100     else if (sze[ls[cur]]+cnt[cur]>=k) return val[cur];
101     else k-=sze[ls[cur]]+cnt[cur],cur=rs[cur];
102     }
103     return val[cur];
104 }
105 int getrank(int x)//询问x排名
106 {
107     int cur=find(x);
108     splay(cur);
109     return sze[ls[cur]]+1;
110 }
111 int getpre(int x)//找前驱
112 {
113     int cur=find(x);
114     if (val[cur]<x) return val[cur];
115     splay(cur);
116     return val[getmax(ls[cur])];
117 }
118 int getnxt(int x)//找后继
119 {
120     int cur=find(x);
121     if (val[cur]>x) return val[cur];
122     splay(cur);
123     return val[getmin(rs[cur])];
124 }
125 int main()
126 {
127     n=read();
128     for (int i=1,op,x;i<=n;i++)
129     {
130     op=read(),x=read();
131     if (op==1) insert(x);
132     if (op==2) erase(x);
133     if (op==3) printf("%d\\n",getrank(x));
134     if (op==4) printf("%d\\n",getkth(x));
135     if (op==5) printf("%d\\n",getpre(x));
136     if (op==6) printf("%d\\n",getnxt(x));
137     }
138     return 0;
139 }