01 微积分的本质

Posted 2020-10-18 郭老猫

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要了解微积分的本质，我们从一个大家都知道的公式说起。这个公式就是求圆的面积公式：A=πr²

 

我们将用微积分的方式来推导这个公式，在这个过程中，我们将利用到微分，积分，和两者的互逆

首先我们先将一个圆如下图切分成数个圆环。我们获得每个圆环的面积，然后将他们相加不就得到圆的面积了。

所以我们以相同的距离dr将圆切分成若干个同心圆环。

比如圆环的半径是3，dr取0.1 那么我们就将一个圆换分成了30个宽度都是0.1的同心圆环：

每一个圆环拉直会得到一个新的形状，我们将这个形状近似看做一个矩形

那么这个矩形的面积就是这个圆环的周长乘以dr，圆环的周长为圆环到圆心的距离*2π

那么每个圆环的近似面积面积就为：2πr*dr(这里的r是每个圆环到圆心的距离)

你会发现我们的dr 取值越小，那么我们计算出来的圆的面积也就越精确。

现在如果我们把所有近似矩从小到大一个接一个的排列在一起，我们会有一些全新的发现：

注意，为了方便观察我们y轴与x轴的比例为5：1

现在我们去的dr是0.1，而我们取的dr值越小，获得的圆环的数量就越多，而这些圆环的近似矩形面积相加起来的面积就靠近原来的圆的面积。

若是无限多个圆环，那么我们获得的近似值越来越靠近真实值。

 

可是我们取的圆环越多，那么计算量不就越大，无限多的就代表根本没法计算。

但注意，当dr取值无限小的时候，我们将所有圆环的面积加起来与下图三角形的面积是相同的。

这个三角形的底是3 而高最大圆环的周长，也就是圆的周长：2π*3

如果圆的半径是r，那么它对应的三角形就是一个底为r，高为2π*r的三角形。根据三角形面积公式，我们得到

圆的面积为：πr²

对于数学家来说，你不光要找到答案，你还想要能发展处解决一般问题的工具和技巧

我们回想一下刚刚发生了什么。为什么这样做是可行的。这个从近似值到精确值的过程，通过这个过程，我们可以了解微积分的本质。

 

最开我们将问题化解为许多微小值的和，来获得一个近似的结果。

首先我们取每间隔dr值，取一个圆环。我们将一个圆换分成若干个小圆环，将其近似看成若干个矩形，我们就能获得近似的圆形面积。

这里的dr 不仅是圆环的宽度，也是每个圆环半径的间距。

我们将这个这个dr越缩小，dr值取的越小，所有矩形相加的面积就越接近于一个三角形的面积。

我们可以得出结论，原来的原型的面积恰好就是这个三角形的面积。

注意此时已经不是近似值，而是完全准确。

 

用这种方法，我们还可以解决一些其他的问题。

下一小节，我们看看这个方法是如何在其他问题上应用的。