bzoj1477: 青蛙的约会（exgcd）

Posted 2020-10-18 Sakits

　　昨天打code+的时候发现自己已经不大会exgcd了。。赶紧复习一下QAQ

 

求$ax+by=gcd(a,b)$的解

　　初始条件

$gcd(a, 0)=a$

$x=1,y=0$

　　推导过程

$gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)$

$ax‘+by‘=bx+(a-\left \lfloor \frac{a}{b} \right \rfloor *b)y$

$ax‘+by‘=ay+bx-\left \lfloor \frac{a}{b} \right \rfloor *by$

$ax‘+by‘=ay+b(x-\left \lfloor \frac{a}{b} \right \rfloor *y)$

$x‘=y,y‘=x-\left \lfloor \frac{a}{b} \right \rfloor *y$

　　然后大概就完了

　　对于求$ax+by=c$的话，先求$ax+by=gcd(a,b)$的一个解$x_0,y_0$，则$x‘=x_0*c/d,y‘=y_0*c/d$即为$ax+by=c$的一个解，因为$d*c/d=c$嘛，显然...注意如果不满足$gcd(a,b)|c$就无解，更相减损术可证。

　　设$d=gcd(a,b)$。求出$ax+by=c$的一个整数解$x_0,y_0$后，其他整数解可以用$x_0-b/d,y_0-a/d$求得。因为显然$a(x_0-b)+b(y_0+a)=c$是满足的，但是其实最小的间隔应该要除以最大公约数，所以$a(x_0-b/d)+b(y_0+a/d)=c$也是成立的。

ll exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y)
{
    if(!b) return x=1, y=0, a;
    int ans=exgcd(b, a%b, x, y);
    ll t=x; x=y; y=t-a/b*y;
    return ans;
}

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　　回到这题上

$x+am\equiv y+an\ (mod\ L)$

$a(m-n)+bL=y-x$

 

　　令$a=m-n,b=L,c=y-x$，就变成$ax+by=c$的形式了。

　　要求得最小正整数解，就是要求$(((x_0\% |b/d|)+|b/d|)\%|b/d|)$，然后这题就完了。

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn=500010, inf=1e9;
ll X, Y, m, n, L, a, b, c, d, x, y, p;
inline void read(ll &k)
{
    int f=1; k=0; char c=getchar();
    while(c<‘0‘ || c>‘9‘) c==‘-‘&&(f=-1), c=getchar();
    while(c<=‘9‘ && c>=‘0‘) k=k*10+c-‘0‘, c=getchar();
    k*=f;    
}
ll exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y)
{
    if(!b) return x=1, y=0, a;
    int ans=exgcd(b, a%b, x, y);
    ll t=x; x=y; y=t-a/b*y;
    return ans;
}
int main()
{
    read(X); read(Y); read(m); read(n); read(L);
    a=m-n; b=L; c=Y-X; d=exgcd(a, b, x, y);
    if(c%d!=0) return puts("Impossible"), 0;
    x=x*(c/d); b/=d; p=b>0?b:-b;
    x=((x%p)+p)%p; x+=x?0:p;
    printf("%lld\n", x);
}

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