bzoj1477: 青蛙的约会(exgcd)

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了bzoj1477: 青蛙的约会(exgcd)相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

  昨天打code+的时候发现自己已经不大会exgcd了。。赶紧复习一下QAQ

 

求$ax+by=gcd(a,b)$的解

  初始条件

$gcd(a, 0)=a$

$x=1,y=0$

  推导过程

$gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)$

$ax‘+by‘=bx+(a-\left \lfloor \frac{a}{b} \right \rfloor *b)y$

$ax‘+by‘=ay+bx-\left \lfloor \frac{a}{b} \right \rfloor *by$

$ax‘+by‘=ay+b(x-\left \lfloor \frac{a}{b} \right \rfloor *y)$

$x‘=y,y‘=x-\left \lfloor \frac{a}{b} \right \rfloor *y$

  然后大概就完了

  对于求$ax+by=c$的话,先求$ax+by=gcd(a,b)$的一个解$x_0,y_0$,则$x‘=x_0*c/d,y‘=y_0*c/d$即为$ax+by=c$的一个解,因为$d*c/d=c$嘛,显然...注意如果不满足$gcd(a,b)|c$就无解,更相减损术可证。

  设$d=gcd(a,b)$。求出$ax+by=c$的一个整数解$x_0,y_0$后,其他整数解可以用$x_0-b/d,y_0-a/d$求得。因为显然$a(x_0-b)+b(y_0+a)=c$是满足的,但是其实最小的间隔应该要除以最大公约数,所以$a(x_0-b/d)+b(y_0+a/d)=c$也是成立的。

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ll exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y)
{
    if(!b) return x=1, y=0, a;
    int ans=exgcd(b, a%b, x, y);
    ll t=x; x=y; y=t-a/b*y;
    return ans;
}
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  回到这题上

$x+am\equiv y+an\ (mod\ L)$

$a(m-n)+bL=y-x$

 

  令$a=m-n,b=L,c=y-x$,就变成$ax+by=c$的形式了。

  要求得最小正整数解,就是要求$(((x_0\% |b/d|)+|b/d|)\%|b/d|)$,然后这题就完了。

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#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn=500010, inf=1e9;
ll X, Y, m, n, L, a, b, c, d, x, y, p;
inline void read(ll &k)
{
    int f=1; k=0; char c=getchar();
    while(c<0 || c>9) c==-&&(f=-1), c=getchar();
    while(c<=9 && c>=0) k=k*10+c-0, c=getchar();
    k*=f;    
}
ll exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y)
{
    if(!b) return x=1, y=0, a;
    int ans=exgcd(b, a%b, x, y);
    ll t=x; x=y; y=t-a/b*y;
    return ans;
}
int main()
{
    read(X); read(Y); read(m); read(n); read(L);
    a=m-n; b=L; c=Y-X; d=exgcd(a, b, x, y);
    if(c%d!=0) return puts("Impossible"), 0;
    x=x*(c/d); b/=d; p=b>0?b:-b;
    x=((x%p)+p)%p; x+=x?0:p;
    printf("%lld\n", x);
}
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JZOI2002BZOJ1477P1371青蛙的约会