将学习到什么
介绍范数的单位球以及对偶定理.
?
范数的单位球
? 范数的基本几何特征是它的单位球，透过它可以深入洞察范数的性质. ? ??定义 1 ： 设 \lVert \cdot \rVert 是实或者复向量空间 V 上的一个范数，x 是 V 的一个点，又设给定 r>0. 以 x 为中心、r 为半径的球定义为集合 \begin B_{\lVert \cdot \rVert}(r;x)={y \in V： \lVert y-x \rVert \leqslant r } \end \lVert \cdot \rVert 的单位球是集合 \begin B_{\lVert \cdot \rVert} =B_{\lVert \cdot \rVert}(1;0) = {y \in V： \lVert y \rVert \leqslant 1 } \end ? 以任意点 x 为中心具有给定半径的球与以原点为中心有同样半径的球看起来相同，它正好是平移到点 x. 我们的目的是要精确地确定 \mathbb{C}^n 的哪些子集能是某个范数的单位球. ? ??定义 2 ： 如果范数的单位球是一个多面体，则称该范数是多面体的. ? l_1，l_{\infty} 范数是多面体的 ?
对偶定理
? 任何范数都是其对偶范数之对偶. ? ??定理 3 ： 设 f 是 V=\mathbb{R^n} 或者 \mathbb{C}^n 上一个准范数，用 f^D 表示 f 的对偶范数，用 f^{DD} 表示 f^D 的对偶范数，设 B=\{x \in V：f(x) \leqslant 1 \}，又设 B‘‘=\{x \in V ：f^{DD}(x) \leqslant 1. 那么 ??(a) 对所有 x \in V 有 f^{DD}(x) \leqslant f(x)，所以 B \subset B‘‘ ??(b) B‘‘ = \overline{\mathrm{Co}(S)}，B 的凸包的闭包 ??(c) 如果 f 是范数，那么 B=B‘‘，且 f^{DD}=f ??(d) 如果 f 是范数且给定 x_0 \in V，那么就存在某个 z \in V（不一定是唯一的），使得 f^D(z)=1 以及 f(x_0)=z^*x_0，也即对所有 x \in V 有 \lvert z^*x \rvert \leqslant f(x)，以及有 f(x_0)=z^*x_0. ? 上一定理的结论 (c) 可能是对偶定理的最要且应用最广泛的部分. 例如，它允许我们将任何范数 f 表示为 \begin f(x) = \max\limits_{fD(y)=1}\mathrm\,\,y*x \end 这个表示就是拟线性化的一个例子. ? ??推论 4： \mathbb{R^n} 或者 \mathbb{C}^n 上的范数是单调的. ? ??**证明：**假设 \lVert \cdot \rVert 是 \mathbf{F} 上一个绝对范数. 定理 3(b) 确保它的对偶 \lVert \cdot \rVert^D 是绝对的. 对偶定理告诉我们：\lVert \cdot \rVert 是绝对范数 \lVert \cdot \rVert^D 的对偶，故而推出 \lVert \cdot \rVert 是单调的. ?
应该知道什么
- 任何范数都是其对偶范数之对偶