转载利用向量积（叉积）计算三角形的面积和多边形的面积

Posted 2020-10-18 Surpassion

利用向量积（叉积）计算三角形的面积和多边形的面积：

向量的数量积和向量积：

（1）  向量的数量积

 

（1）  向量的向量积

两个向量a和b的叉积（向量积）可以被定义为：

在这里θ表示两向量之间的角夹角（0° ≤ θ ≤ 180°），它位于这两个矢量 所定义的平面上。

向量积的模（长度）可以解释成以a和b为邻边的平行四边形的面积。求三角形ABC的面积，根据向量积的意义，得到：

a=a_xi+a_yj+a_zk;

b=b_xi+b_yj+b_zk;

a×b=(a_yb_z-a_zb_y)i+(a_zb_x-a_xb_z)j+(a_xb_y-a_yb_x)k,为了帮助记忆，利用三阶行列式，写成：

计算任意多边形的面积：（顶点按逆时针顺序排列）

求多边形面积最基础的方法就是用剖分法来做的，就是把多边形分成若干个三角形，然后对每个三角形求面积，求面积，在有精度要求的情况下，不要用海伦-秦九昭公式，海伦公式可能在精度损失方面会比较严重，而且计算量很大。

最适合解决任意多边形面积的方法是：向量积法。

顶点为P_k(k=1,2,3…n)的多边形，其顶点坐标分别为(x₁,y₁)，(x₂,y₂)，(x₃,y₃)…(x_n,y_n)。

在计算几何里，我们知道，△ABC的面积就是“向量AB”和“向量AC”两个向量叉积的绝对值的一半。其正负表示三角形顶点是在右手系还是左手系。