同余定理

Posted 2020-10-18 Veritas des Liberty

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同余定理在小学数学竞赛中的应用
肖 丽
(贵州师范大学数学科学学院 贵州 贵阳 550001)
【摘要】本研究基于高观点视角，例析同余定理在小学数学竞赛中的应用，探讨运用其解决小学奥数问题的优越性。
【关键词】小学数学竞赛 同余定理 应用
【中图分类号】G623.5 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）40-0114-02
同余定理是初等数论中的重要内容，其不仅为公开密钥体
质的建立做了重要的理论基础， 同时在生活中也具有广泛应
用。 因此同余定理在各级各类数学竞赛中备受青睐，特别是在
小学数学竞赛中，运用同余定理能优化解题思路，使问题解决
思路简单化。
一、同余定理概述
1.同余定理。 同余的定义：给定一个正整数 m，把它叫作
模。 如果用 m 去除任意两个整数 a 和 b 所得的余数相同，我们
就说 a，b 对模 m 同余，记作 a≡b(modm)。 如果余数不同，我们
就说 a，b 对模 m 不同余，记作 a堍b(modm)。
2.同余的有关性质。 根据同余的定理，可获得如下性质：
性质 1：若 a≡b(modm)，c≡d(modm)；则 a±c≡b±d(modm)。
性质 2：若 a≡b(modm)，c≡d(modm)；则 a×c≡b×d(modm)。
特殊情况，当 a=c，b=d 时，a2≡b2(modm)，由此可以延伸到 an≡
bn(modm)。
性质 3：a≡b(modm)，则 an≡bn(modm)。 一 般 的 ，若 ax≡b
(modm)，ay≡c(modm)，则有 ax+y≡bc(modm)。
性质 4：若 a1≡b1(modm)，a2≡b2(modm)，….，an≡bn(modm)，
则 a1+a2+…an≡b1+b2+…bn(modm)。 （性质 7 可以看成是性质 2
的一个延展。 ）
在同余中还有一个非常重要的定理——费尔马小定理。费
尔马小定理 ：如果 p 是素数 ，a 是自然数 ，且(a，p)=1，则 ap-1≡1(modp)
。 考生们在记忆这些性质时，可以用螺旋上升的方式来
记忆。 接下来我们就利用这些性质来解决相关的竞赛题目，从
定义出发，充分利用性质，由此来巩固对同余的记忆。
二、例析同余定理在小学数学竞赛中的运用
例 1：512×321+891×53-611×29 除以 13 的余数是多少？
解析：该例题是性质 4 和性质 5 的混合运用。
解：已知 512≡5(mod13)，321≡9(mod13)，891≡7(mod13)，
53≡1(mod13)，611≡0(mod13)，29≡3(mod13)
所 以 原 式≡5×9+7×1-0×3≡45+7-0≡52 (mod13)≡0(mod13)

即 512×321+891×53-611×29 除以 13 的余数是 0。
这一类的题目，如果直接计算，除了计算量大以外，还容易
由计算错误。 如果直接运用同余的定理就要简单许多。 考生需
要注意的是对公式的运用，分清楚 a，b 和模 m。 在解题过程中
还需要注意的是，余数相乘后所得到的数如果比 m 大，那就还
需要再做一次同余，并且需要注意能整的特殊情况。
教学·信息
·114·
课程教育研究 Course Education Research 2017 年第 40 期
例 2： 自然数 26520、24903、24177 除以 m 的余数相同，则
m 的最大值是多少？
解析：该题主要涉及到了性质 4 以及最大公约数的相关性
质。
解：因为 26520≡24903≡24177(modm)所以 m|24903-24177=726=2
×3×112
m|26520-24903=1617=3×72×11m|26520-24177=2343=3
×11×71
显然 m 应该是这三个数的公约数，所以 m 的最大值为 3×
11=33。
该类题目在解题时是不能直接计算的，它的解题过程充分
利用了同余的性质，既简便了计算过程，也强化了性质的延伸
理解。
例 3：今天是星期二，再过 200200 天是星期几？
解析：该例题运用的是费马小定理，如果经过的天数比较
小的话可以直接运用同余的性质直接计算。
解：因为 7 是质数。 且 6=7-1，所以由费马小定理知：
200200≡2006×33+2≡(2006)33×2002≡133×2002(mod7)
又因为 2002≡2(mod7)所以 200200≡133×2≡2(mod7)
因为今天是星期二，所以再过 200200 天是星期四。
这一类题目还有其他的表达方式，如“200200 除以 7 的余数
是多少？”。在解题过程需要理解题意，注意明确周期数，最后利
用同余的性质求出余数。
例 4：求 5555+6666+8888-9999 的个位数字。
分析：该例题除了同余的计算外，最主要的是自然数 an 的
个位数字的变化规律。
a4k+1≡a (mod10)、a4k+2≡a2 (mod10)、a4k+3≡a3 (mod10)、a4k≡a4
(mod10)
解 ： 因 为 5555≡553≡53≡5 (mod10)，6666≡662≡62≡6(mod10)
，
8888≡884≡84≡6(mod10)，9999≡993≡93≡9(mod10)，
所以，原式≡5+6+6-9≡8(mod10)即 5555+6666+8888-9999 的
个位数字为 8。
本例是利用同余求自然数的个位数字。求自然数的各位数
字就是求该自然数除以 10 的余数，即求自然数模 10 和哪个一
位数同余就行了。 需要强调的是所模的数永远是 10。 这一个题
综合同余的性质以及自然数的个位数的性质，比较全面，所以对于
考生而言有一定的难度。
三、总结
在本文中通过对同余的定义和性质的介绍，以及对几类例
题的求解，能让考生对同余有了进一步的总结和认识。 但同余
的题目千变万化，考生只有掌握了同余的本质，才能有效的解
决各类题目。 在学习的过程中，由于题目的趣味性，能激发学生
探究数学的兴趣，不再是只为解决题目而学习，而是因兴趣而
学习。
参考文献：
[1]闵嗣鹤.初等数论[M].北京：高等教育出版社，2003.[2]
张亚芳.同余定理在数学竞赛中的应用[J].数学学习与研究
，2008(2).[3]
凌科.小升初奥数精要 15 讲[M].北京：中国石化出版社，
2006.
作者简介：
肖丽（1986—），女，贵州遵义人，硕士研究生，研究方向：数
学教育。