动态规划——买书问题

Posted 2020-10-18 messi2017

转载自CSDN 朱超迪，链接:http://blog.csdn.net/q623702748/article/details/51592427

在朱超迪的原代码上做了一些修改

 

问题描述：
         在节假日的时候，书店一般都会做促销活动。由于《哈利波特》系列相当畅销，店长决定通过促销活动来回馈读者。上柜的《哈利波特》平装本系列中，一共有五卷。假设每一卷单独销售均需8欧元。如果读者一次购买不同的两卷，就可以扣除5%的费用，三卷则更多。假设具体折扣的情况如下：
 
本数     折扣
2            5%
3           10%
4           20%
5           25%
        
       在一份订单中，根据购买的卷数及本数，就会出现可以应用不同折扣规则的情况。但是，一本书只会应用一个折扣规则。比如，读者一共买了两本卷一，一本卷二。那么，可以享受到5%的折扣。另外一本卷一则不能享受折扣。如果有多种折扣，希望计算出的总额尽可能的低。
         要求根据以上需求，设计出算法，能够计算出读者所购买的一批书的最低价格。
                                                                                  
                                                                                      
思路分析：
         看到这个题目，任何人一开始想到的都是希望让书本尽可能享受高折扣。但是随着书本数目大于5本的时候，享受的总折扣就会相应出现了变化。            
         举个例子， 当输入的数据为(2,2,2,1,1)的时候，如果按照享受最高折扣计算，那么对应的折扣策略就会拆分变成(1,1,1,1,1)和(1,1,1,0,0)两种，总价格变为8×0.75×5＋8×0.9×3＝ 51.6欧元。但是如果我们变一下策略，选择4+4，购买序列变为(1,1,1,1,0)以及(1,1,1,0,1)，那么总共花费8×0.8×5＋8×0.8×5＝51.2欧元。
看到这里，我们已经可以使用动态规划通过计算总折扣数来计算最优惠价格，当然，也可以采用优化的贪心算法来实现，因为贪心算法求解这类题目都是近似解，与最优解相近。
 
解题：
先将现有条件转换一下（用百分比表示书本单价的多少倍）：
 
本数
相对于书本单价的百分比
1
100%
2
190%
3
270%
4
320%
5
375%
 
具体说明一下吧：
当只有一本书的时候，没有折扣，所以为100%，即原价8欧元购买；
当有两本不同的书本，享有5%折扣，原本总价为200% ，减掉每本5%折扣，为190%，即15.2欧元；
当有三本不同的书本，享有10%折扣，原本总价为300%，减掉每本10%折扣，为270%，即21.6欧元；
当有四本不同的书本，享有20%折扣，原本总价为400%，减掉每本的20%折扣，为320%，即25.6欧元；
当有五本不同的书本，享有25%折扣，原本总价为500%，减掉每本的25%折扣，为375%，即30欧元；
以上折扣数据存放在minDis[6]中
即minDIs[6] = {0 , 1，1.9 , 2.7 , 3.2 , 3.75 };
根据上述条件描述，我们可以定义出一条状态转移方程（核心）：
F[Y1,Y2,Y3,Y4,Y5] = min{   //定量 + 变量  的组合
8*minDis[5]+F(Y1-1,Y2-1,Y3-1,Y4-1,Y5-1),
8*minDis[4]+F(Y1-1,Y2-1,Y3-1,Y4-1,Y5),
8*minDis[3]+F(Y1-1,Y2-1,Y3-1,Y4,Y5),
8*minDis[2]+F(Y1-1,Y2-1,Y3,Y4,Y5),
8*minDis[1]+F(Y1-1,Y2,Y3,Y4,Y5)
}
       其中必须保证Y1>=Y2>=Y3>=Y4>=Y5，这样才不会出现更多的冗余数据。例如：(2,2,2,1,1)和(1,2,1,2,2)虽然不同，但是结果都是一样的。

下面是这个问题的代码(我个人修改过了)：

 1  //买书问题
 2 
 3     float discount[6] = {0,1,1.9,2.7,3.2,3.75};
 4     float price[6][6][6][6][6] = {0};
 5     int num[6] = { 0 };
 6     for (int i = 1; i <= 5; ++i)
 7         cin >> num[i];
 8     int temp = 0;
 9     bubble_sort(num, 5);
10     
11     int num1[6] = { 0 };
12     float arr[6] = { 0 };
13     float min = 0;
14     for (int a5 = 0; a5 <= num[5];++a5)
15     for (int a4 = a5; a4 <= num[4];++a4)
16     for (int a3 = a4; a3 <= num[3]; ++a3)
17     for (int a2 = a3; a2 <= num[2]; ++a2)
18     for (int a1 = a2; a1 <= num[1]; ++a1){
19         if (a5 > 0){
20             num1[5] = a5 - 1;
21             num1[4] = a4 - 1;
22             num1[3] = a3 - 1;
23             num1[2] = a2 - 1;
24             num1[1] = a1 - 1;
25             bubble_sort(num1, 5);
26             arr[5] = 8 * discount[5] + price[num1[1]][num1[2]][num1[3]][num1[4]][num1[5]];
27         }
28         if (a4 > 0){
29             num1[5] = a5;
30             num1[4] = a4 - 1;
31             num1[3] = a3 - 1;
32             num1[2] = a2 - 1;
33             num1[1] = a1 - 1;
34             bubble_sort(num1, 5);
35             arr[4] = 8 * discount[4] + price[num1[1]][num1[2]][num1[3]][num1[4]][num1[5]];
36         }
37         if (a3 > 0){
38             num1[5] = a5;
39             num1[4] = a4;
40             num1[3] = a3 - 1;
41             num1[2] = a2 - 1;
42             num1[1] = a1 - 1;
43             bubble_sort(num1, 5);
44             arr[3] = 8 * discount[3] + price[num1[1]][num1[2]][num1[3]][num1[4]][num1[5]];
45         }
46         if (a2 > 0){
47             num1[5] = a5;
48             num1[4] = a4;
49             num1[3] = a3;
50             num1[2] = a2 - 1;
51             num1[1] = a1 - 1;
52             bubble_sort(num1, 5);
53             arr[2] = 8 * discount[2] + price[num1[1]][num1[2]][num1[3]][num1[4]][num1[5]];
54         }
55         if (a1 > 0){
56             num1[5] = a5;
57             num1[4] = a4;
58             num1[3] = a3;
59             num1[2] = a2;
60             num1[1] = a1 - 1;
61             bubble_sort(num1, 5);
62             arr[1] = 8 * discount[1] + price[num1[1]][num1[2]][num1[3]][num1[4]][num1[5]];
63         }
64         min = arr[1];
65         for (int k = 1; k <= 5;++k)              
66             if ((arr[k] < min&&arr[k]>0)||min==0)min = arr[k];
67         price[a1][a2][a3][a4][a5] = min;
68     }
69     cout << price[num[1]][num[2]][num[3]][num[4]][num[5]] << endl;
70     return 0;
71 }

其中bubble_sort是一个基本的冒泡排序算法，由于问题规模有限，我就写了个最简单的冒泡排序，由于比较简单所以这里不再提供。