子树大小平衡树

Posted 2020-10-18 Halifuda

#include<cstdio>
#define MXN 100000+3
#define max(a,b) (a>b?a:b)
#define min(a,b) (a<b?a:b)
#define nil 0
#define LEFT false
#define RIGHT true
int val[MXN],size[MXN],fa[MXN],left[MXN],right[MXN],recycle[1001],root;
int ntop,rtop=-1,rcount;
int newnode(){
    int nw;
    if(rtop!=-1) nw=recycle[rtop--];
    else nw=++ntop;
    val[nw]=0;
    size[nw]=1;
    fa[nw]=nil;
    left[nw]=nil;
    right[nw]=nil;
    return nw;
}
int newnode(int k){
    int nw=newnode();
    val[nw]=k;
    return nw;
}
void rotate(int now){rcount++;
    if(fa[now]==nil) return;
    int f=fa[now],gf=fa[f],l=left[now],r=right[now];
    fa[now]=gf;
    if(gf!=nil){
        if(left[gf]==f) left[gf]=now;
        if(right[gf]==f) right[gf]=now;
    }
    if(left[f]==now){
        right[now]=f;
        left[f]=r;
        if(r!=nil) fa[r]=f;
    }
    if(right[f]==now){
        left[now]=f;
        right[f]=l;
        if(l!=nil) fa[l]=f;
    }
    fa[f]=now;
    size[f]=size[left[f]]+size[right[f]]+1;
    size[now]=size[left[now]]+size[right[now]]+1;
    if(fa[now]==nil) root=now;
    return;
}
void maintain(int now,bool type){
    int l=left[now],r=right[now],b=nil,rt;
    if(type==LEFT){
        if(size[left[l]]>size[r]){
            rotate(l);
            rt=l;
        }
        else if(size[right[l]]>size[r]){
            b=right[l];
            rotate(b);
            rotate(b);
            rt=b;
        }
        else return;
    }
    if(type==RIGHT){
        if(size[right[r]]>size[l]){
            rotate(r);
            rt=r;
        }
        else if(size[left[r]]>size[l]){
            b=left[r];
            rotate(b);
            rotate(b);
            rt=b;
        }
        else return;
    }
    maintain(left[rt],LEFT);
    maintain(right[rt],RIGHT);
    maintain(rt,LEFT);
    maintain(rt,RIGHT);
    return;
}
int search(int now,int k){
    if(now==nil) return nil;
    if(val[now]==k) return now;
    if(val[now]>k) return search(left[now],k);
    if(val[now]<k) return search(right[now],k);
}
int insert(int &now,int ins){
    if(root==nil) root=ins;
    else if(now==nil) now=ins;
    else{
        ++size[now];
        if(val[ins]<=val[now]){
            if(left[now]==nil){
                left[now]=ins;
                fa[ins]=now;
            }
            else insert(left[now],ins);
        }
        else{
            if(right[now]==nil){
                right[now]=ins;
                fa[ins]=now;
            }
            else insert(right[now],ins);
        }
        maintain(now,val[ins]>val[now]);
    }
    return ins;
}
void remove(int now,int k){
    if(now==nil) return;
    if(val[now]==k){
        if(left[now]==nil&&right[now]==nil){
            if(left[fa[now]]==now) left[fa[now]]=nil;
            else right[fa[now]]=nil;
            fa[now]=nil;
            recycle[++rtop]=now;
            return;
        }
        else if(left[now]==nil){
            if(left[fa[now]]==now) left[fa[now]]=right[now];
            else right[fa[now]]=right[now];
            fa[right[now]]=fa[now];
            fa[now]=nil;
            recycle[++rtop]=now;
            return;
        }
        else if(right[now]==nil){
            if(left[fa[now]]==now) left[fa[now]]=left[now];
            else right[fa[now]]=left[now];
            fa[left[now]]=fa[now];
            fa[now]=nil;
            recycle[++rtop]=now;
            return;
        }
        else{
            int t=left[now];
            while(right[t]!=nil) t=right[t];
            val[now]=val[t];
            size[now]--;
            remove(left[now],val[t]);
            return;
        }
    }
    else{
        size[now]--;
        if(val[now]>k) remove(left[now],k);
        else remove(right[now],k);
    }
    return;
}
int select(int now,int k){
    if(now==nil) return nil;
    if(size[left[now]]+1==k) return now;
    if(size[left[now]]+1>=k) return select(left[now],k);
    if(size[left[now]]+1<k) return select(right[now],k-size[left[now]]-1);
}
int rank(int now,int k){
    if(now==nil) return 1;
    if(val[now]>=k) return rank(left[now],k);
    if(val[now]<k) return rank(right[now],k)+size[left[now]]+1; 
}
int get_prev(int now,int k){
    if(now==nil) return -0x6fffffff;
    if(val[now]<k) return max(val[now],get_prev(right[now],k));
    else return get_prev(left[now],k);
}
int get_succ(int now,int k){
    if(now==nil) return 0x6fffffff;
    if(val[now]>k) return min(val[now],get_succ(left[now],k));
    else return get_succ(right[now],k);
}
int main(){
    int n;
    scanf("%d",&n); 
    root=nil;
    int p,x;
    while(n--){
        scanf("%d%d",&p,&x);
        if(p==1) insert(root,newnode(x));
        if(p==2) remove(root,x);
        if(p==3) printf("%d\n",rank(root,x));
        if(p==4) printf("%d\n",val[select(root,x)]);
        if(p==5) printf("%d\n",get_prev(root,x));
        if(p==6) printf("%d\n",get_succ(root,x));
    }
    return 0;
}

Size Balanced Tree

子树大小平衡树是一种平衡树，利用子树大小维护平衡。满足下面性质的二叉搜索树称为SBT：

除根外，每棵树的大小不小于其兄弟的儿子的大小。

性质十分简单。由于具有对称性（即若L和R互为兄弟，则L大小不小于R的儿子大小，同时R大小不小于L的儿子大小），因此可以使树保持平衡。

SBT基本操作为旋转。旋转与splay定义不同（貌似与很多平衡树相同），左旋一棵树指使其右子树的根成为这棵树新的根，右旋与左旋对称。

主要的维护利用maintain，分以下四种情况：

1、若某点右子树大小小于其左儿子的左子树大小，则右旋其本身，对称的情况是某点左子树大小小于其右儿子的右子树大小，则左旋其本身；

2、若某点右子树大小小于其左儿子的右子树大小，则先左旋其左子树，再右旋其本身，另一种情况与这种情况对称。

旋转之后，有一些树的大小发生变化，那么需要继续maintain，直到满足SBT性质。若上述maintain了子树A，则先maintainA的左右子树，再maintainA本身。

有一种对maintain的改良方法，即maintain时只关注某一个子树是否小于其兄弟的儿子。不过我并不感觉改良了多少，大概改良了maintain次数，不过只是把四种情况分开讨论，原本四种情况也不会重叠。

复杂度还是很优的，时间相当的情况下旋转次数应比splay少（只会这两种平衡树...）。