zoj 3688 The Review Plan II 禁位排列 棋盘多项式 容斥

Posted 2020-07-04

题目链接：http://acm.zju.edu.cn/onlinejudge/showProblem.do?problemId=4971

题意：共有N天和N个章节，每天完成一个章节，规定第i个章节不可以在第i天或者i+1天完成(第N个章节则是第N天和第1天不能)，求分配能完成所有章节的方案数。

思路：

主要还是根据棋盘多项式的公式来求解：

但是这题和ZOJ3687不同，数据量N最大有100000，因此不能爆搜，需要推一下公式。

按照题意，先求禁位组成的棋盘的棋盘多项式，再用容斥。禁位组成的棋盘如下：

r_{k(C)可以转化成求1-2*N组成的圆环中，取k个不相邻的数的不同方案数。}

假设在圆环中先选择一个数字，那么还需2*N-3个数中选择k-1不相邻数，这时候圆环变成了一条直链。

那么根据在1~N数中选择k个不相邻的数的方案数的公式：

 

可以得出在1~(2*N-3)数中选择k-1个不相邻的数的方案数为：，化简得：

所以求1-2*N组成的圆环中，取k个不相邻的数的不同方案数的公式为：

 

 

然后根据容斥原理，本题的公式即为：

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 #define maxn 100010
 4 long long num[maxn*2];
 5 const long long mod = 1e9+7;
 6 void init()
 7 {
 8     num[0] = 1; num[1] = 1;
 9     for(int i = 2; i < 2*maxn; i++)
10     {
11         num[i] = num[i-1]*i%mod;
12     }
13 }
14 int N;
15 long long quick_mod(long long a, long long b, long long mod)
16 {
17     long long ret = 1;
18     long long temp = a;
19     while(b)
20     {
21         if(b&1) ret = ret*temp%mod;
22         temp = temp*temp%mod;
23         b >>= 1;
24     }
25     return ret;
26 }
27 int main() 
28 {
29    // freopen("in.txt", "r", stdin);
30     init();
31     while(~scanf("%d", &N))
32     {
33         if(N == 1 || N == 2)
34         {
35             printf("0\\n"); continue;
36         }
37         long long ans = num[N];
38         long long a, b, temp;
39         for(int k = 1; k <= N; k++)
40         {
41             a = num[2*N-k-1]*2%mod*N%mod;
42             b = k*num[k-1]%mod*num[2*N-2*k]%mod; 
43             b = quick_mod(b, mod-2, mod);
44             temp = a*b%mod*num[N-k];
45             
46             if(k&1) ans = ((ans - temp)%mod + mod)%mod;
47             else ans = (ans + temp)%mod; 
48         }
49         printf("%lld\\n", ans);
50     }
51     return 0;
52 }