bzoj1485 [HNOI2009]有趣的数列 卡特兰数

Posted 2020-10-18 Kaiser

【bzoj1485】[HNOI2009]有趣的数列

Description

 我们称一个长度为2n的数列是有趣的，当且仅当该数列满足以下三个条件：

   (1)它是从1到2n共2n个整数的一个排列{a_i}；

   (2)所有的奇数项满足a₁<a₃<…<a_2n-1，所有的偶数项满足a₂<a₄<…<a_2n；

   (3)任意相邻的两项a_2i-1与a_2i(1≤i≤n)满足奇数项小于偶数项，即：a_2i-1<a_2i。

   现在的任务是：对于给定的n，请求出有多少个不同的长度为2n的有趣的数列。因为最后的答案可能很大，所以只要求输出答案 mod P的值。

Input

输入文件只包含用空格隔开的两个整数n和P。输入数据保证，50%的数据满足n≤1000，100%的数据满足n≤1000000且P≤1000000000。

Output

仅含一个整数，表示不同的长度为2n的有趣的数列个数mod P的值。

Sample Input

3 10

Sample Output

5
对应的5个有趣的数列分别为（1,2,3,4,5,6），（1,2,3,5,4,6），（1,3,2,4,5,6），（1,3,2,5,4,6），（1,4,2,5,3,6）。

 

题解

　　仔细观察奇数项

　　发现是1,2,3  1,2,4   1,2,5   1,3,4   1,3,5

　　所以，发现是对于第i项 a[i]<2*i，发现什么

　　不就是入栈的序列吗

　　对于1,2,3

　　出栈，入栈编号都加1，所以

　　上面五项对应了

　　进 进 进 出 出 出

　　进 进 出 进 出 出

　　进 进 出 出 进 出

　　进 出 进 进 出 出

　　进 出 进 出 进 出

　　这不是就是卡特兰数的应用之一吗，hh

　　注意分解因数

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cmath>
 3 #include<ctime>
 4 #include<cstring>
 5 #include<iostream>
 6 #include<algorithm>
 7 
 8 #define ll long long
 9 #define N 2000007
10 using namespace std;
11 inline int read()
12 {
13     int x=0,f=1;char ch=getchar();
14     while(ch>‘9‘||ch<‘0‘){if (ch==‘-‘) f=-1;ch=getchar();}
15     while(ch<=‘9‘&&ch>=‘0‘){x=(x<<3)+(x<<1)+ch-‘0‘;ch=getchar();}
16     return x*f;
17 }
18 
19 ll ans=1;
20 int n,P,cnt;
21 int pri[N],mn[N],num[N];
22 bool flag[N];
23 
24 void init()
25 {
26     for(int i=2;i<=2*n;i++)
27     {
28         if(!flag[i])pri[++cnt]=i,mn[i]=cnt;
29         for(int j=1;pri[j]*i<=2*n&&j<=cnt;j++)
30         {
31             flag[pri[j]*i]=1;mn[pri[j]*i]=j;
32             if(i%pri[j]==0)break;
33         }
34     }
35 }
36 void solve(int x,int f)
37 {
38     while(x!=1)
39     {
40         num[mn[x]]+=f;
41         x/=pri[mn[x]];
42     }
43 }
44 int main()
45 {
46     n=read();P=read();
47     init();
48     for(int i=2*n;i>n;i--)
49         solve(i,1);
50     for(int i=1;i<=n;i++)
51         solve(i,-1);
52     solve(n+1,-1);
53     for(int i=1;i<=cnt;i++)
54         while(num[i]--)
55             ans=(ans*pri[i])%P;
56     printf("%d\n",ans);
57 }