UOJ#55 [WC2014]紫荆花之恋

Posted 2020-10-18 _rqy

题目描述

强强和萌萌是一对好朋友。有一天他们在外面闲逛，突然看到前方有一棵紫荆树。这已经是紫荆花飞舞的季节了，无数的花瓣以肉眼可见的速度从紫荆树上长了出来。

仔细看看的话，这个大树实际上是一个带权树。每个时刻它会长出一个新的叶子节点，每个节点上有一个可爱的小精灵，新长出的节点上也会同时出现一个新的小精灵。小精灵是很萌但是也很脆弱的生物，每个小精灵 \(i\) 都有一个感受能力值 \(r_i\)，小精灵 \(i, j\) 成为朋友当且仅当在树上 \(i\) 和 \(j\) 的距离 \(\text{dist}(i, j) \leq r_i + r_j\)，其中 \(\text{dist}(i, j)\) 表示在这个树上从 \(i\) 到 \(j\) 的唯一路径上所有边的边权和。

强强和萌萌很好奇每次新长出一个叶子节点之后，这个树上总共有几对朋友。

我们假定这个树一开始为空，节点按照加入的顺序从 \(1\) 开始编号。由于强强非常好奇，你必须在他每次出现新结点后马上给出总共的朋友对数，不能拖延哦。

输入格式

第一行包含一个整数，表示测试点编号。

第二行包含一个正整数 \(n\)，表示总共要加入的节点数。

我们令加入节点前的总共朋友对数是 \(\text{last_ans}\)，在一开始时它的值为 \(0\)。

接下来 \(n\) 行中第 \(i\) 行有三个非负整数 \(a_i, c_i, r_i\)，表示结点 \(i\) 的父节点的编号为 \(a_i \oplus (\text{last_ans} \bmod 10^9)\)（其中 \(\oplus\) 表示异或，\(\bmod\)表示取余，数据保证这样操作后得到的结果介于 \(1\) 到 \(i - 1\) 之间），与父结点之间的边权为 \(c_i\)，节点 \(i\) 上小精灵的感受能力值为 \(r_i\)。

注意 \(a_1 = c_1 = 0\)，表示 \(1\) 号节点是根结点，对于 \(i > 1\)，父节点的编号至少为 \(1\)。

输出格式

包含 \(n\) 行，每行输出 \(1\) 个整数，表示加入第 \(i\) 个点之后，树上有几对朋友。

样例一

input

    0
    5
    0 0 6
    1 2 4
    0 9 4
    0 5 5
    0 2 4

output

    0
    1
    2
    4
    7

样例二

见样例数据下载。

限制与约定

对于所有数据，满足 \(1 \leq c_i \leq 10000\)，\(a_i \leq 2 \times 10^9\)，\(r_i \leq 10^9\)，\(n \leq 100000\)

此题 hack 时忽略输入数据中给定的测试点编号对测试点的限制。

祝大家一遍 AC，求不虐萌萌哒测评机！

时间限制：\(12\texttt{s}\)

空间限制：\(512\texttt{MB}\)

题解

首先，我们发现实际上每次只需要统计新加进的结点有多少合法解。那么，我们将\(dist(i, j)\)写成\(dist(i,p)+dist(j,p)\)，其中\(p\)是\(i\)和\(j\)的LCA。

那么，

\[\begin{aligned}dist(i,j)&\leq r_i + r_j\\Leftrightarrow dist(i,p)+dist(j,p)&\leq r_i+r_j\\Leftrightarrow r_i-dist(i,p)&\geq dist(j,p)-r_j\end{aligned}\]

所以，我们枚举新加的结点的所有祖先\(p\)，计算以\(p\)为LCA的满足条件的点对\((i,j)\)有多少个即可。

计算时，先查询\(p\)子树在添加\(i\)之前有多少\(j\)满足\(r_i-dist(i,p)\geq dist(j,p)-r_j\)，再减去其中LCA不是\(p\)的（即，\(i\)和\(j\)在\(p\)的同一棵子树里，这样我们就要查询在这棵子树里有多少\(j\)满足此条件）。

然而，要高效地维护这个信息，就需要在每个结点上维护一个Treap（记录所有的\(dist(j,p)-r_j\)），但这样当树退化为链，单次加入时间复杂度增加为\(O(nlogn)\)，空间复杂度增加为\(O(n^2)\)。

于是，借鉴替罪羊树的思想，我们在某个结点子树内的点个数大于其父亲子树内点的个数的\(\alpha\in(0,1)\)倍的时候暴力重构其父亲的子树。既然要求重构之后尽量平衡，理所当然地选用点分治。

这样，上面的分析中所有的“父亲”和“祖先”都应理解为点分治树上的祖先（LCA当然也是），但是答案仍是正确的，因为我们仍然不重不漏地枚举了所有可能的点。

代码实现上，还要写一个倍增LCA以查询\(dist\)，因为点分治之后的祖先不一定是原树上的祖先，不能直接用\(dep\)相减。

哦，还有，要写垃圾回收，因为有重构treap，之前的内存必须要重复利用。

代码

#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <stack>
#include <set>
typedef long long LL;
const int N = 100050;
int pre[N], to[N * 2], nxt[N * 2], c[N * 2], cnt = 0;
int r[N];
inline void add_edge(int x, int y, int v) {
  nxt[cnt] = pre[x];
  c[cnt] = v;
  to[pre[x] = cnt++] = y;
  nxt[cnt] = pre[y];
  c[cnt] = v;
  to[pre[y] = cnt++] = x;
}
namespace Tree{
  int dep[N], dep2[N], fa[N][17];
  void insert(int x, int c, int f) {
    add_edge(x, f, c);
    dep[x] = dep[fa[x][0] = f] + 1;
    dep2[x] = dep2[f] + c;
    for (int i = 1; i < 17; ++i)
      fa[x][i] = fa[fa[x][i - 1]][i - 1];
  }
  int LCA(int x, int y) {
    if (dep[x] > dep[y]) std::swap(x, y);
    for (int i = 16; ~i; --i)
      if (dep[fa[y][i]] >= dep[x])
        y = fa[y][i];
    for (int i = 16; ~i; --i)
      if (fa[x][i] != fa[y][i]) {
        x = fa[x][i];
        y = fa[y][i];
      }
    return x == y ? x : fa[x][0];
  }
  int dis(int x, int y) {
    int l = LCA(x, y);
    return dep2[x] + dep2[y] - 2 * dep2[l];
  }
};
struct Treap;
typedef Treap* PTreap;
struct Treap{
  static std::stack<PTreap> bin;
  PTreap lch, rch;
  int val, key, cnt, siz;
  void* operator new(size_t, int v) {
    Treap *res;
    res = bin.top();
    bin.pop();
    res->val = v; res->key = rand();
    res->cnt = 1; res->siz = 1;
    res->lch = res->rch = NULL;
    return res;
  }
  void operator delete(void *t) {
    bin.push((PTreap)t);
  }
  void update() {
    siz = cnt;
    if (lch != NULL) siz += lch->siz;
    if (rch != NULL) siz += rch->siz;
  }
  friend void Zig(PTreap &t) { //右旋
    PTreap l = t->lch;
    t->lch = l->rch;
    l->rch = t;
    t->update();
    l->update();
    t = l;
  }
  friend void Zag(PTreap &t) { //左旋
    Treap *r = t->rch;
    t->rch = r->lch;
    r->lch = t;
    t->update();
    r->update();
    t = r;
  }
  friend int query(PTreap o, int x) {
    if (o == NULL) return 0;
    if (o->val > x) return query(o->lch, x);
    else return query(o->rch, x) + (o->lch == NULL ? 0 : o->lch->siz) + o->cnt;
  }
  friend void insert(PTreap &o, int x) {
    if (o == NULL)
      o = new (x)Treap;
    else if (o->val == x)
      ++o->cnt;
    else if (o->val > x) {
      insert(o->lch, x);
      if (o->lch->key > o->key)
        Zig(o);
    } else {
      insert(o->rch, x);
      if (o->rch->key > o->key)
        Zag(o);
    }
    o->update();
  }
  friend void remove(PTreap &x) {
    if (x == NULL) return;
    remove(x->lch);
    remove(x->rch);
    delete x; x = NULL;
  }
};
std::stack<PTreap> Treap::bin;
namespace Dynamic_TreeDivision{
  PTreap tree[N], sonTree[N];
  int time, vise[N * 2];
  int fa[N], vis[N];
  std::set<int> son[N];
  void remove(int x) {
    vis[x] = time;
    for (std::set<int>::iterator i = son[x].begin(); i != son[x].end(); ++i) {
      remove(*i);
      remove(sonTree[*i]);
    }
    son[x].clear();
    remove(tree[x]);
  }
  int getCentre(int x, int f, int siz, int &ct) {
    int res = 1;
    bool ok = true;
    for (int i = pre[x]; ~i; i = nxt[i]) {
      if (vise[i] == time) continue;
      if (to[i] == f) continue;
      if (vis[to[i]] != time) continue;
      int ss = getCentre(to[i], x, siz, ct);
      if (ss > siz / 2) ok = false;
      res += ss;
    }
    if (siz - res > siz / 2) ok = false;
    if (ok) ct = x;
    return res;
  }
  void insertAll(int x, int f, int dep, PTreap &p) {
    insert(p, dep - r[x]);
    for (int i = pre[x]; ~i; i = nxt[i]) {
      if (vise[i] == time) continue;
      if (to[i] == f) continue;
      if (vis[to[i]] != time) continue;
      insertAll(to[i], x, dep + c[i], p);
    }
  }
  int divide(int x) {
    getCentre(x, 0, getCentre(x, 0, 1000000000, x), x);
    insertAll(x, 0, 0, tree[x]);
    for (int i = pre[x]; ~i; i = nxt[i]) {
      if (vise[i] == time) continue;
      if (vis[to[i]] != time) continue;
      vise[i] = vise[i ^ 1] = time;
      PTreap p = NULL;
      insertAll(to[i], 0, c[i], p);
      int s = divide(to[i]);
      fa[s] = x;
      son[x].insert(s);
      sonTree[s] = p;
    }
    return x;
  }
  void rebuild(int x) {
    ++time;
    remove(x);
    int ff = fa[x];
    PTreap p = sonTree[x];
    sonTree[x] = NULL;
    if (ff != 0) son[ff].erase(x);
    x = divide(x);
    fa[x] = ff;
    sonTree[x] = p;
    if (ff != 0) son[ff].insert(x);
  }
  LL insert(int x, int f) {
    LL ans = 0;
    son[f].insert(x);
    fa[x] = f;
    for (int i = x; i; i = fa[i]) {
      if (fa[i] != 0) {
        int d = Tree::dis(fa[i], x);
        ans += query(tree[fa[i]], r[x] - d);
        ans -= query(sonTree[i], r[x] - d);
        insert(sonTree[i], d - r[x]);
      }
      int d = Tree::dis(i, x);
      insert(tree[i], d - r[x]);
    }
    int rebuildx = 0;
    for (int i = x; fa[i]; i = fa[i])
      if (tree[i]->siz > tree[fa[i]]->siz * 0.88)
        rebuildx = fa[i];
    if (rebuildx) rebuild(rebuildx);
    return ans;
  }
};
Treap node[N * 100];
int main() {
  for (int i = 0; i < N * 100; ++i)
    Treap::bin.push(node + i);
  int n, a, cc, v;
  scanf("%*d%d", &n);
  LL lastans = 0;
  pre[0] = -1;
  for (int i = 1; i <= n; ++i) {
    scanf("%d%d%d", &a, &cc, &v);
    r[i] = v;
    a ^= lastans % 1000000000;
    pre[i] = -1;
    Tree::insert(i, cc, a);
    lastans += Dynamic_TreeDivision::insert(i, a);
    printf("%lld\n", lastans);
  }
  return 0;
}