矩阵快速幂

Posted 2020-07-04 小河沟大河沟

     经常提到矩阵快速幂，今天研究了一下，就是将问题转化为二进制离散化，巧妙地减少运算量。

     矩阵的快速幂是用来高效地计算矩阵的高次方的。将朴素的o（n）的时间复杂度，降到log（n）。

     一般一个矩阵的n次方，我们会通过连乘n-1次来得到它的n次幂。但做下简单的改进就能减少连乘的次数，方法如下：

把n个矩阵进行两两分组，比如：A*A*A*A*A*A  =>  (A*A)*(A*A)*(A*A) 这样变的好处是，你只需要计算一次A*A，然后将结果(A*A)连乘自己两次就能得到A^6，即(A*A)^3=A^6。算一下发现这次一共乘了3次，少于原来的5次。其实大家还可以取A^3作为一个基本单位。原理都一样：利用矩阵乘法的结合律，来减少重复计算的次数。以上都是取一个具体的数来作为最小单位的长度，这样做虽然能够改进效率，但缺陷也是很明显的，取个极限的例子（可能有点不恰当，但基本能说明问题），当n无穷大的时候，你现在所取的长度其实和1没什么区别。所以就需要我们找到一种与n增长速度”相适应“的”单位长度“，那这个长度到底怎么去取呢？？？这点是我们要思考的问题。有了以上的知识，我们现在再来看看，到底怎么迅速地求得矩阵的N次幂。

      既然要减少重复计算，那么就要充分利用现有的计算结果咯！~怎么充分利用计算结果呢？？？这里考虑二分的思想。。大家首先要认识到这一点：任何一个整数N，都能用二进制来表示。。这点大家都应该知道，但其中的内涵真的很深很深（这点笔者感触很深，在文章的最后，我将谈谈我对的感想）！！计算机处理的是离散的信息，都是以0,1来作为信号的处理的。可想而知二进制在计算机上起着举足轻重的地位。它能将模拟信号转化成数字信号，将原来连续的实际模型，用一个离散的算法模型来解决。  好了，扯得有点多了，不过相信这写对下面的讲解还是有用的。

      回头看看矩阵的快速幂问题，我们是不是也能把它离散化呢？比如A^19  =>  （A^16）*（A^2）*（A^1），显然采取这样的方式计算时因子数将是log(n)级别的(原来的因子数是n)，不仅这样，因子间也是存在某种联系的，比如A^4能通过(A^2)*(A^2)得到，A^8又能通过(A^4)*(A^4)得到，这点也充分利用了现有的结果作为有利条件。下面举个例子进行说明：现在要求A^156,而156(10)=10011100(2) 也就有A^156=>(A^4)*(A^8)*(A^16)*(A^128)  考虑到因子间的联系，我们从二进制10011100中的最右端开始计算到最左端。细节就说到这，下面给核心代码：

while(N)
 {
                if(N&1)
                       res=res*A;
                n>>=1;
                A=A*A;
 }

里面的乘号，是矩阵乘的运算，res是结果矩阵。

第3行代码每进行一次，二进制数就少了最后面的一个1。二进制数有多少个1就第3行代码就执行多少次。

好吧，矩阵快速幂的讲解就到这里吧。在文章我最后给出我实现快速幂的具体代码（代码以3*3的矩阵为例）。

现在我就说下我对二进制的感想吧：

我们在做很多”连续“的问题的时候都会用到二进制将他们离散简化

1.多重背包问题

2.树状数组

3.状态压缩DP

……………还有很多。。。究其根本还是那句话：化连续为离散。。很多时候我们并不是为了解决一个问题而使用二进制，更多是时候是为了优化而使用它。所以如果你想让你的程序更加能适应大数据的情况，那么学习学习二进制及其算法思想将会对你有很大帮助。

下面是我做的实验：

//矩阵快速幂

//矩阵的快速幂是用来高效地计算矩阵的高次方的。将朴素的o（n）的时间复杂度，降到log（n）。

#include<iostream>
using namespace std;
int N;
struct matrix
{
    int a[3][3];
}origin,res;

matrix multiply(matrix x, matrix y)
{
    matrix temp;
    memset(temp.a,0,sizeof(temp.a));
    for (size_t i = 0; i < 3; i++)
    {
        for (size_t j = 0; j < 3; j++)
        {
            for (size_t k = 0; k < 3; k++)
            {
                temp.a[i][j] += x.a[i][k] * y.a[k][j];
            }
        }
    }
    return temp;
}

void init()
{
    printf("随机数组如下：\n");
    for (size_t i = 0; i < 3; i++)
    {
        for (size_t j = 0; j < 3; j++)
        {
            origin.a[i][j] = rand() % 10;
            printf("%d",origin.a[i][j]);
            printf("\t");
        }
        printf("\n");
    }
    printf("\n");
    memset(res.a,0,sizeof(res.a));
    res.a[0][0] = res.a[1][1] = res.a[2][2]=1; //初始化为单位矩阵
}

void calc(int n)
{
    printf("%d次幂结果如下：\n", n);
    while (n)
    {
        if (n&1)
        {
            res = multiply(res,origin);  //单位矩阵和任何矩阵相乘等于矩阵本身 A^156=>(A^4)*(A^8)*(A^16)*(A^128) 提取有用的origin进行相乘
        }
        n >>= 1;
        origin = multiply(origin, origin);  //这里还是在累乘
    }

    for (size_t i = 0; i < 3; i++)
    {
        for (size_t j = 0; j < 3; j++)
        {
            printf("%d",res.a[i][j]);
            printf("\t");
        }
        printf("\n");
    }
    printf("\n");
}

int main()
{
    while (cin>>N)
    {
        init();
        calc(N);
    }
    return 0;
}