欧拉的问题：凸多边形划分为三角形的方法数
2017-05-14 08:29
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今天是5月14日，我们按照规定，给出几道答案等于14的题目。
（一）
一个正七边形有多少条对角线？（7个点之间两两连线，可以连接出7*6/2=21条线段，其中有七条是正七边形的边，那么，剩余线段的数量就是正七边形对角线的数量，请您自己计算。另外，也可以从另一角度来计算对角线的数量：广义的正七边形还包括星状七边形。星状七边形有两种，一种是从任意一个顶点出发，相隔一个顶点依次进行连线，这样，连接七次后，回到出发点，形成下图中红色的星状七边形。第二种也是从任意一个顶点出发，但这次是相隔两个顶点依次进行连线，于是，也是连接七次后回到出发点，连接出下图中绿色星状七边形。红绿两种星状七边形是不同的，互相不会重复或重叠。两种星状七边形的边合在一起，构成全部正七边形的对角线。）
（二）
一个正四边形（正方形）可以有两种方法把它划分成两个三角形：
一个正五边形有下面五种方法把它划分成三角形：
那么，一个正六边形可以有多少种方法把它划分成三角形呢？
下面是几个公式：
（1）欧拉给出的公式（n代表正多边形的边数）：
（2）塞格纳（Johann Andreas Segner）的公式（其中规定E2=1）：
请您自行验证一下正六边形内划分出三角形的方法共有多少种（n取6时）。上面是对正多边形进行的讨论。其实对凸多边形都是成立的。