12.16

Posted 2020-10-17 Grary

\href{http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1101}{BZOJ 1101 [POI2007]Zap}\
这种形式的式子在之前的文章中出现过不少。\
将题目中的式子反演化简到最后会得到一个式子:
\begin{equation}
ans=\sum_{d}^{\lfloor \frac{n}{k}\rfloor}\mu(d)\lfloor \frac{n}{kd}\rfloor \lfloor\frac{m}{kd}\rfloor
\end{equation}
\par 然后按照之前的思路,求莫比乌斯函数前缀和和枚举除法取值可以通过这道题。
\begin{lstlisting}[language={C++}]

#include<iostream>
#include<cstdio>
#define N 50005
using namespace std;

typedef long long ll;

int tot;
int mu[N];
int sum[N];
bool mark[N];
int prime[N];

void getmu(int n){
    int i,j;
    mu[1]=1;
    for(i=2;i<=n;i++){
        if(!mark[i]){
            prime[++tot]=i;
            mu[i]=-1;
        }
        for(j=1;prime[j]*i<=n;j++){
            mark[prime[j]*i]=1;
            if(i%prime[j]==0){
                mu[prime[j]*i]=0;
                break;
            }
            mu[prime[j]*i]=-mu[i];
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;++i)
        sum[i]=sum[i-1]+mu[i];
}    
ll query(int n,int m,int k){
    m=m/k,n=n/k;int last;
    ll ans=0;
    for(ll i=1;i<=n;i=last+1){
        last=min(n/(n/i),m/(m/i));
        ans+=(n/i)*(m/i)*(sum[last]-sum[i-1]);
    }
    return ans;
}

int main(){
    getmu(N);
    int n,m,k;
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
        if(n>m)swap(n,m);
        printf("%lld\n",query(n,m,k));
    }
    return 0;
}

\end{lstlisting}
\subsection{例题2:}
\href{https://www.hackerrank.com/challenges/gcd-product/problem}{GCD Product}\
这个网站{\color{blue} hackerrank}还是不错的.\
题目大意:求\[\prod_{i=1}^{n}\prod_{j=1}^m(i,j)\]
\par 那么又要开始推式子了
\begin{align}
\text{设}f(d)=&\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\left[ (i,j)=d\right]\
=&\sum_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor}\mu(i)\lfloor \frac{n}{id}\rfloor \lfloor \frac{m}{id}\rfloor \
\text{带入原式可得,}
ans=&\prod_{d=1}^nd^{f(d)}\
ans=&\prod_{d=1}^nd^{\sum_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor}\mu(i)\lfloor \frac{n}{id}\rfloor \lfloor \frac{m}{id}\rfloor}\
\text{令}T=&id,\
ans=&\prod_{T=1}^n(\prod_{d|T}d^{\mu(\frac{T}{d})})^{\lfloor \frac{n}{T}\rfloor \lfloor \frac{m}{T}\rfloor}\
\text{设}g(T)=&\prod_{d|T}d^{\mu(\frac{T}{d})}\
\end{align}
我们需要在线性的时间内求出\(g(T)\),
观察得知\(g(T)\)有以下性质,
\begin{equation}
g(T)=\begin{cases}
1, &T=1\
p, &T=p^q\
1, &others
\end{cases}
\end{equation}
然后枚举每一个质数的整数幂,复杂度\(\Theta(n)\),
总复杂度\(\Theta (n+\sqrt{n}log(n))\)