bzoj3129[Sdoi2013]方程 exlucas+容斥原理

Posted 2020-10-17 wsy

3129: [Sdoi2013]方程

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Description

给定方程
    X1+X2+. +Xn=M
我们对第l..N1个变量进行一些限制：
Xl < = A
X2 < = A2
Xn1 < = An1
我们对第n1 + 1..n1+n2个变量进行一些限制：
Xn1+l > = An1+1
Xn1+2 > = An1+2
Xnl+n2 > = Anl+n2
求：在满足这些限制的前提下，该方程正整数解的个数。
答案可能很大，请输出对p取模后的答案，也即答案除以p的余数。

Input

    输入含有多组数据，第一行两个正整数T，p。T表示这个测试点内的数据组数，p的含义见题目描述。
    对于每组数据，第一行四个非负整数n，n1，n2，m。
    第二行nl+n2个正整数，表示A1..n1+n2。请注意，如果n1+n2等于0，那么这一行会成为一个空行。

Output

  共T行，每行一个正整数表示取模后的答案。

Sample Input

3 10007
3 1 1 6
3 3
3 0 0 5
3 1 1 3
3 3

Sample Output

3
6
0
【样例说明】
对于第一组数据，三组解为(1，3，2)，(1,4,1),(2,3,1)
对于第二组数据，六组解为(1，1，3)，(1,2,2),(1,3,1),(2,1,2),(2,2,1),(3,1,1)

HINT

n < = 10^9  , n1 < = 8   , n2 < = 8   ,  m < = 10^9  ,p<=437367875

对于l00%的测试数据：  T < = 5，1 < = A1..n1_n2  < = m，n1+n2 < = n

 

exlucas+容斥啊。
这道题主要考点是exlucas而不是容斥吧。
模型转换可以看成向盒子里装小球 ,转化成隔板原理

而由于组合数C(n,m)中n和m太大了且p不一定是质数,需要用exlucas来求组合数模
对于有下界限制的,强行先分给它 下界-1个
对于上界限制的直接容斥 没超的-至少1个超的+至少2个超的..
exlucas可以翻翻网上博客,主要就用了CRT和快速求阶乘来得到组合数
代码我懒得写了,复制了别人的

lucas&&exlucas   https://www.cnblogs.com/candy99/p/6637629.html
这道题代码原网址:http://blog.csdn.net/werkeytom_ftd/article/details/50152143

 

#include<cstdio>
#include<iostream>
#define fo(i,a,b) for(i=a;i<=b;i++)
using namespace std;
typedef long long ll;
ll f[10],a[20],b[20],c[20],d[20],e[20],pri[32000+10],fac[100000+10];
bool bz[32000+10];
ll i,j,k,l,t,n,m,n1,n2,ca,p,pp,num,top,xx,yy,cnt;
ll quicksortmi(ll x,ll y,ll p){
    if (!y) return 1;
    if (y==1) return x%p;
    ll t=quicksortmi(x,y/2,p);
    t=t*t%p;
    if (y%2) t=t*(x%p)%p;
    return t;
}
void gcd(ll a,ll b){
    if (!b){
        xx=1;
        yy=0;
    }
    else{
        gcd(b,a%b);
        swap(xx,yy);
        yy-=xx*(a/b);
    }
}
ll getny(ll x,ll y){
    gcd(x,y);
    xx=(xx%y+y)%y;
    return xx;
}
ll calcfac(ll n,ll p,ll pp){
    if (n<pp) return fac[n];
    ll t=quicksortmi(fac[p-1],n/p,p);
    t=t*fac[n%p]%p;
    cnt+=n/pp;
    t=t*calcfac(n/pp,p,pp)%p;
    return t;
}
ll calc(ll x,ll y,ll p,ll pp){
    ll i;
    fac[0]=1;
    fo(i,1,p-1)
        if (i%pp==0) fac[i]=fac[i-1];
        else fac[i]=fac[i-1]*i%p;
    cnt=0;
    ll A=calcfac(y,p,pp);
    ll tot=cnt;
    cnt=0;
    ll B=calcfac(x,p,pp);
    B=B*calcfac(y-x,p,pp)%p;
    B=getny(B,p);
    return A*B%p*quicksortmi(pp,tot-cnt,p)%p;
}
ll comb(ll x,ll y,ll p){
    if (x>y) return 0;
    fo(i,1,top) a[i]=calc(x,y,d[i],e[i]);
    fo(i,1,top) b[i]=getny(c[i],d[i]);
    ll t=0;
    fo(i,1,top) t=(t+a[i]*b[i]%p*c[i]%p)%p;
    return t;
}
void dfs(ll x,ll m,ll cnt){
    if (x==n1+1){
        ll t=comb(n-1,m-1,p);
        if (cnt%2) num=((num-t)%p+p)%p;
        else num=(num+t)%p;
        return;
    }
    dfs(x+1,m,cnt);
    if (m-f[x]) dfs(x+1,m-f[x],cnt+1);
}
int main(){
    fo(i,2,32000){
        if (!bz[i]) pri[++k]=i;
        fo(j,1,k){
            if (pri[j]*i>32000) break;
            bz[i*pri[j]]=1;
            if (i%pri[j]==0) break;
        }
    }
    scanf("%lld%lld",&ca,&p);
    pp=p;
    fo(i,1,k){
        if (pp%pri[i]==0){
            d[++top]=1;e[top]=pri[i];
            while (pp%pri[i]==0){
                d[top]*=pri[i];
                pp/=pri[i];
            }
        }
    }
    fo(i,1,top) c[i]=p/d[i];
    while (ca--){
        scanf("%lld%lld%lld%lld",&n,&n1,&n2,&m);
        fo(i,1,n1) scanf("%lld",&f[i]);
        fo(i,1,n2){
            scanf("%lld",&k);
            if (k) m-=k-1;
        }
        num=0;
        dfs(1,m,0);
        printf("%lld\\n",num);
    }
}