整数拆分问题的四种解法转载

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了整数拆分问题的四种解法转载相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

http://blog.csdn.net/u011889952/article/details/44813593

整数拆分问题的四种解法

原创 2015年04月01日 21:17:09
 

整数划分问题是算法中的一个经典命题之一

 

所谓整数划分,是指把一个正整数n写成如下形式:

n=m1+m2+m3+....+mi;(其中mi为正整数,并且1<=mi<=n),则{m1,m2,m3,....,mi}为n的一个划分。

如果{m1,m2,m3,....,mi}中的最大值不超过m,即max{m1,m2,m3,....,mi} <= m,则称它属于n的一个m划分。这里我们记n的m划分的个数为f(n,m);

例如当n=4时,它有5个划分:{4}、{3,1}、{2,2}、{2,1,1}、{1,1,1,1};

注意:4=1+3和4=3+1被认为是同一个划分。

该问题是求出n的所有划分个数,即f(n,n)。下面我们考虑求f(n,m)的方法。

 

方法一:递归法

根据n和m的关系,考虑下面几种情况:

(1)当n=1时,不论m的值为多少(m>0),只有一种划分,即{1};

(2)当m=1时,不论n的值为多少(n>0),只有一种划分,即{1,1,....1,1,1};

(3)当n=m时,根据划分中是否包含n,可以分为两种情况:

(a)划分中包含n的情况,只有一个,即{n};

(b)划分中不包含n的情况,这时划分中最大的数字也一定比n小,即n的所有(n-1)划分;

  因此,f(n,n) = 1 + f(n, n - 1)。

(4)当n<m时,由于划分中不可能出现负数,因此就相当于f(n,n);

(5)当n>m时,根据划分中是否包含m,可以分为两种情况:

(a)划分中包含m的情况,即{m,{x1,x2,x3,...,xi}},其中{x1,x2,x3,...,xi}的和为n-m,可能再次出现m,因此是(n-m)的m划分,因此这种划分个数为f(n-m, m);

(b)划分中不包含m的情况,则划分中所有值都比m小,即n的(m-1)划分,个数为f(n, m - 1);

 因此,f(n,m) = f(n - m,m) + f(n, m - 1)。

综合以上各种情况,可以看出,上面的结论具有递归定义的特征,其中(1)和(2)属于回归条件,(3)和(4)属于特殊情况,而情况(5)为通用情况,属于递归的方法,其本质主要是通过减少n或m以达到回归条件,从而解决问题。

其递归表达式如下所示。

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参考源码1.1(递归版本(较慢))

  1. #include <stdio.h>  
  2.   
  3. #define MAXNUM 100            //最高次数  
  4.   
  5. //递归法求解整数划分  
  6. unsigned long GetPartitionCount(int n, int max)  
  7. {  
  8.     if(n == 1 || max == 1)  
  9.     {  
  10.         return 1;  
  11.     }  
  12.     if(n < max)  
  13.     {  
  14.         return GetPartitionCount(n, n);  
  15.     }  
  16.     if(n == max)  
  17.     {  
  18.         return 1 + GetPartitionCount(n, n - 1);  
  19.     }  
  20.     else  
  21.     {  
  22.         return GetPartitionCount(n - max, max) + GetPartitionCount(n, max - 1);  
  23.     }  
  24. }  
  25.   
  26.   
  27. int main(int argc, char **argv)  
  28. {  
  29.     int n;  
  30.     int m;  
  31.     unsigned long count;  
  32.     while(1)  
  33.     {  
  34.         scanf("%d", &n);  
  35.         if(n<=0)  
  36.             return 0;  
  37.         m=n;  
  38.         count = GetPartitionCount(n, m);  
  39.         printf("%d\n",count);  
  40.     }  
  41.     return 0;  
  42. }  

方法二:动态规划

考虑到使用递归中,很多的子递归重复计算,这样不仅在时间开销特别大,这也是运算太慢的原因,比如算120的时候需要3秒中,计算130的时候需要27秒钟,在计算机200的时候....计算10分钟还没计算出来。。。鉴于此,可以使用动态规划的思想进行程序设计,原理如同上面一样,分成三种情况,只是使用一个数组来代替原有的递归,具体可以参看源码,源码中提供了两个版本 递归+记录版本和数组版本

2.1 递归加记录版本

此版本使用数组标记,如果之前计算过,则直接调用数组中内容,否则计算子递归,这样保证了每次计算一次,减少冗余量

源码如下:

  1. /*---------------------------------------------- 
  2.  *        Author    :NEWPLAN 
  3.  *        Date    :2015-04-01 
  4.  *        Email    :xxxxxxx 
  5.  *        Copyright:NEWPLAN 
  6. -----------------------------------------------*/  
  7. #include <iostream>  
  8.   
  9.   
  10. #define MAXNUM 100            //最高次数  
  11. unsigned  long ww[MAXNUM*11][MAXNUM*11];  
  12. unsigned long dynamic_GetPartitionCount(int n, int max);  
  13.   
  14. using namespace std;  
  15. int main(int argc, char **argv)  
  16. {  
  17.     int n;  
  18.     int m;  
  19.     unsigned long count;  
  20.       
  21.     while(1)  
  22.     {  
  23.         cin>>n;  
  24.         cout<<dynamic_GetPartitionCount(n,n)<<endl;  
  25.     }  
  26.       
  27.     return 0;  
  28. }  
  29.   
  30. unsigned long dynamic_GetPartitionCount(int n, int max)  
  31. {  
  32.     if(n == 1 || max == 1)  
  33.     {  
  34.         ww[n][max]=1;  
  35.         return 1;  
  36.     }  
  37.     if(n < max)  
  38.     {  
  39.         ww[n][n]=ww[n][n]? ww[n][n] : dynamic_GetPartitionCount(n, n);  
  40.         return ww[n][n];  
  41.     }  
  42.     if(n == max)  
  43.     {  
  44.         ww[n][max]=ww[n][n-1]?1+ww[n][n-1]:1 + dynamic_GetPartitionCount(n, n - 1);  
  45.         return ww[n][max];  
  46.     }  
  47.     else  
  48.     {  
  49.         ww[n][max]=ww[n - max][max]? (ww[n - max][max]) : dynamic_GetPartitionCount(n - max, max);  
  50.         ww[n][max]+=ww[n][max-1]? (ww[n][max-1]): dynamic_GetPartitionCount(n, max - 1);      
  51.         return ww[n][max];  
  52.     }  
  53. }  

 

2.2 数组标记法动态规划(从小到大)

考虑到计算ww[10][10]=ww[10][9]+1;所以在每次计算中都是用到之前的记录,这样就可以先从小到大计算出程序,使得计算较大数的时候调用已经计算出的较小的记录,程序直接是用循环就可以完成任务,避免了重复计算和空间栈的开销。

源码:

  1. /*---------------------------------------------- 
  2.  *        Author    :NEWPLAN 
  3.  *        Date    :2015-04-01 
  4.  *        Email    :xxxxxxx 
  5.  *        Copyright:NEWPLAN 
  6. -----------------------------------------------*/  
  7. #include <iostream>  
  8.   
  9. #define MAXNUM 100            //最高次数  
  10.   
  11. unsigned  long ww[MAXNUM*11][MAXNUM*11];  
  12. unsigned long dynamic_GetPartitionCount(int n, int max);  
  13.   
  14. using namespace std;  
  15.   
  16. int main(int argc, char **argv)  
  17. {  
  18.     int n;  
  19.     int m;  
  20.     unsigned long count;  
  21.       
  22.     while(1)  
  23.     {  
  24.         cin>>n;  
  25.         cout<<dynamic_GetPartitionCount(n,n)<<endl;  
  26.     }  
  27.       
  28.     return 0;  
  29. }  
  30.   
  31. unsigned long dynamic_GetPartitionCount(int n, int max)  
  32. {  
  33.     for(int i=1;i<=n;i++)  
  34.         for(int j=1;j<=i;j++)  
  35.         {  
  36.             if(j==1|| i==1)  
  37.             {  
  38.                 ww[i][j]=1;  
  39.             }  
  40.             else   
  41.             {  
  42.                 if(j==i)  
  43.                     ww[i][j]=ww[i][j-1]+1;  
  44.                 else if((i-j)<j)  
  45.                     ww[i][j]=ww[i-j][i-j]+ww[i][j-1];  
  46.                 else  
  47.                     ww[i][j]=ww[i-j][j]+ww[i][j-1];  
  48.             }  
  49.         }  
  50.     return ww[n][max];  
  51. }  

 

三种方法效果对比十分明显,在写此博客之前测试数据200,动态规划版本输入直接算出结果,现在这片博客写完了,,,使用递归的还没计算出结果。。。

 

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方法三:母函数

 

    下面我们从另一个角度,即“母函数”的角度来考虑这个问题。

    所谓母函数,即为关于x的一个多项式G(x):

    有G(x) = a0 + a1*x + a2*x^2 + a3*x^3 + ......

    则我们称G(x)为序列(a0, a1, a2,.....)的母函数。关于母函数的思路我们不做更过分析。

    我们从整数划分考虑,假设n的某个划分中,1的出现个数记为a1,2的个数记为a2,.....,i的个数记为ai,

    显然有:ak <= n/k(0<= k <=n)

    因此n的划分数f(n,n),也就是从1到n这n个数字抽取这样的组合,每个数字理论上可以无限重复出现,即个数随意,使它们的综合为n。显然,数字i可以有如下可能,出现0次(即不出现),1次,2次,......,k次等等。把数字i用(x^i)表示,出现k次的数字i用(x^(i*k))表示,不出现用1表示。

    例如,数字2用x^2表示,2个2用x^4表示,3个2用x^6表示,k个2用x^2k表示。

    则对于从1到N的所有可能组合结果我们可以表示为:

    G(x) = ( 1 + x + x^2 + x^3 + ... + x^n)*(1 + x^2 + x^4 + x^6 + ....)....(1 + x^n)

            = g(x,1)*g(x,2)*g(x,3)*....*g(x,n)

            = a0 + a1*x + a2*x^2 +...+ an*x^n + ....//展开式

    上面的表达式中,每个括号内的多项式代表了数字i的参与到划分中的所有可能情况。因此,该多项式展开后,由于x^a *x^b = x^(a+b),因此x^i就代表了i的划分,展开后(x^i)项的系数也就是i的所有划分个数,即f(n,n) = an。

    由此我们找到了关于整数划分的母函数G(x);剩下的问题就是,我们需要求出G(x)的展开后的所有系数。

    为此,我们首先要做多项式乘法,对于我们来说,并不困难。我们把一个关于x的多项式用一个整数数组a[]表示,a[i]代表x^i的系数,即:

    g(x) = a[0] + a[1]x + a[2]x^2 + ... + a[n]x^n;

    则关于多项式乘法的代码如下,其中数组a和数组b表示两个要相乘的多项式,结果存储到数组c中。

参考题目: HDU:1028:Ignatius and the Princess III

参考源码:

 

  1. #include <iostream>  
  2. #include <string.h>  
  3. #include <stdio.h>  
  4.   
  5. using namespace std;  
  6.   
  7. const int N=10005;  
  8.   
  9. int c1[N],c2[N];  
  10.   
  11. int main()  
  12. {  
  13.     int n,i,j,k;  
  14.     while(cin>>n)  
  15.     {  
  16.         if(n==0) break;  
  17.         for(i=0;i<=n;i++)  
  18.         {  
  19.             c1[i]=1;  
  20.             c2[i]=0;  
  21.         }  
  22.         for(i=2;i<=n;i++)  
  23.         {  
  24.             for(j=0;j<=n;j++)  
  25.                 for(k=0;k+j<=n;k+=i)  
  26.                     c2[k+j]+=c1[j];  
  27.             for(j=0;j<=n;j++)  
  28.             {  
  29.                 c1[j]=c2[j];  
  30.                 c2[j]=0;  
  31.             }  
  32.         }  
  33.         cout<<c1[n]<<endl;  
  34.     }  
  35.     return 0;  
  36. }  



方法四:五边形数定理

 

设第n个五边形数为技术分享图片,那么技术分享图片,即序列为:1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, ... 

对应图形如下:

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技术分享图片

设五边形数的生成函数为技术分享图片,那么有:

 

技术分享图片

 

 

 

以上是五边形数的情况。下面是关于五边形数定理的内容:

 

五边形数定理是一个由欧拉发现的数学定理,描述欧拉函数展开式的特性。欧拉函数的展开式如下:

 

技术分享图片

 

技术分享图片

 

欧拉函数展开后,有些次方项被消去,只留下次方项为1, 2, 5, 7, 12, ...的项次,留下来的次方恰为广义五边形数。 

 

五边形数和分割函数的关系

 

欧拉函数的倒数是分割函数的母函数,亦即:

 

技术分享图片   其中技术分享图片为k的分割函数。

 

上式配合五边形数定理,有:

 

 技术分享图片

 
在 n>0 时,等式右侧的系数均为0,比较等式二侧的系数,可得
 

技术分享图片

 

因此可得到分割函数p(n)的递归式:技术分享图片

 

例如n=10时,有:技术分享图片

 

 

所以,通过上面递归式,我们可以很快速地计算n的整数划分方案数p(n)了







以上是关于整数拆分问题的四种解法转载的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

整数拆分

整数拆分

写写代码系列032:整数拆分(动态规划)

343. 整数拆分

LeetCode 343.整数拆分 - JavaScript

埃及分数的拆分法