[BZOJ]1052 覆盖问题(HAOI2007)

Posted 2020-10-17 ACMLCZH

　　三矩形覆盖问题啊……不过听说FJOI还出过双圆覆盖问题？

Description

　　某人在山上种了N棵小树苗。冬天来了，温度急速下降，小树苗脆弱得不堪一击，于是树主人想用一些塑料薄膜把这些小树遮盖起来，经过一番长久的思考，他决定用3个L*L的正方形塑料薄膜将小树遮起来。我们不妨将山建立一个平面直角坐标系，设第i棵小树的坐标为（Xi,Yi），3个L*L的正方形的边要求平行与坐标轴，一个点如果在正方形的边界上，也算作被覆盖。当然，我们希望塑料薄膜面积越小越好，即求L最小值。

Input

　　第一行有一个正整数N，表示有多少棵树。接下来有N行，第i+1行有2个整数Xi,Yi，表示第i棵树的坐标。

Output

　　一行，输出最小的L值。

Sample Input

　　4
　　0 1
　　0 -1
　　1 0
　　-1 0

Sample Output

　　1

HINT

　　1 <= N <= 20000，坐标绝对值 <= 10^9，保证不会有2棵树的坐标相同。

 

Solution

　　三正方形有些复杂，我们不如先从单正方形，双正方形入手。单正方形的答案就是max(横坐标极差,纵坐标极差)。

　　双正方形不好贪心，所以我们二分一下答案，判断两个正方形能否覆盖所有点。

　　我们就思考一下，这两个正方形放在哪里，才能尽量覆盖所有点。

　　发现覆盖的形式不外乎两种情况，一种是 一个在左上一个在右下 ，另一种是 一个在右上一个在左下。

　　假设是 一个在左上一个在右下 的情况，处于左上方的正方形一定要盖住横坐标最左的和纵坐标最上的点，因为另一个正方形不会帮你干这件事。

　　同理，处于右下方的正方形也一样。

　　所以，两个正方形放置的位置也就确定了，剩下的事情就是O(n)扫一遍判断是否在正方形内了。

 

　　那么三正方形其实也是极其类似的做法。

　　还是二分答案，考虑三个正方形的放法，发现情况有一点多。

　　但是有一点一定是不变的，那就是必定有一个正方形，处于左上、右上、左下、右下的其中一个角！

　　那么我们就枚举这个角，删去这个角内的点，剩下的，就是一个双正方形覆盖问题！

　　时间复杂度O(nlogn)。

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#define MN 20005
#define INF 0x3FFFFFFF
using namespace std;
struct node{int x,y;}a[MN];
int b[MN];
int bin,n,L,R;

inline int read()
{
    int n=0,f=1; char c=getchar();
    while (c<\'0\' || c>\'9\') {if(c==\'-\')f=-1; c=getchar();}
    while (c>=\'0\' && c<=\'9\') {n=n*10+c-\'0\'; c=getchar();}
    return n*f;
}

bool cov(int len)
{
    if (!bin) return true;
    register int i,lm,rm,dm,um;
    lm=dm=INF; rm=um=-INF;
    for (i=1;i<=bin;++i)
        lm=min(lm,a[b[i]].x),rm=max(rm,a[b[i]].x),
        dm=min(dm,a[b[i]].y),um=max(um,a[b[i]].y);
    for (i=1;i<=bin;++i)
        if (!(a[b[i]].x<=lm+len&&a[b[i]].y<=dm+len
            ||a[b[i]].x>=rm-len&&a[b[i]].y>=um-len)) break;
    if (i>bin) return true;
    for (i=1;i<=bin;++i)
        if (!(a[b[i]].x<=lm+len&&a[b[i]].y>=um-len
            ||a[b[i]].x>=rm-len&&a[b[i]].y<=dm+len)) break;
    if (i>bin) return true;
    return false;
}

void del(int lm,int dm,int rm,int um)
{
    register int i;
    for (bin=0,i=1;i<=n;++i)
        if (a[i].x<lm||a[i].x>rm||a[i].y<dm||a[i].y>um) b[++bin]=i;
}

int main()
{
    register int i,lm,rm,dm,um;
    lm=dm=INF; rm=um=-INF;
    n=read();
    for (i=1;i<=n;++i)
        a[i].x=read(),a[i].y=read(),
        lm=min(lm,a[i].x),rm=max(rm,a[i].x),
        dm=min(dm,a[i].y),um=max(um,a[i].y);
    L=0; R=max(um-dm,rm-lm);
    while (L<R)
    {
        int mid=L+R>>1;
        for (i=1;i<=4;++i)
        {
                 if (i==1) del(lm,dm,lm+mid,dm+mid);
            else if (i==2) del(lm,um-mid,lm+mid,um);
            else if (i==3) del(rm-mid,dm,rm,dm+mid);
            else if (i==4) del(rm-mid,um-mid,rm,um);
            if (cov(mid)) break;
        }
        if (i<=4) R=mid; else L=mid+1;
    }
    printf("%d",L);
}

 

Last Word

　　没有想到小C能抢到这题的一个rank1，先放张图留念，指不定哪天就被某大神艹下去了。