多边形面积

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了多边形面积相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

 

多边形面积

多边形通常分为凸多边形凹多边形

计算多边形面积有几种好用的算法

其核心思想都是把一个n(n>=3)边形转化为n-2个三角形,然后计算

一:海伦公式

最常见的多边形面积计算公式

 

此公式表达式为:

S= sqrt( p*(p-a)*(p-b)*(p-c))

其中p为此三角形的半周长,而a,b,c为三角形三边长

若三角形三点为x1,y1,x2,y2,x3,y3,

即p=(a+b+c)/2

a=sqrt((x2-x1)2+(y2-y1)2)

b=sqrt((x3-x2)2+(y3-y2)2)

c=sqrt((x3-x1)2+(y3-y1)2)

 

可能海伦公式就是S=\\frac{1}{2}ab\\sin \\gamma 的一个变形而已。。。所以觉得意义也是等价的。。。

S = \\frac{1}{2} a b \\sin\\gamma \\\\
    a^2+b^2-2ab\\cos\\gamma = c^2 \\\\
    \\cos\\gamma = \\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}
    S = \\frac{1}{2} a b \\sqrt{1-(\\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab})^2} \\\\
    = \\frac{1}{2}\\sqrt{\\frac{4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)^2}{4}} \\\\
    = \\frac{1}{4}\\sqrt{(2ab-(a^2+b^2-c^2))(2ab+(a^2+b^2-c^2)} \\\\
    = \\frac{1}{4}\\sqrt{(c^2-(a-b)^2)((a+b)^2-c^2)} \\\\
    = \\frac{1}{4}\\sqrt{(c-a+b)(c+a-b)(a+b-c)(a+b+c)} \\\\
    if \\ \\ a+b+c = 2\\rho \\\\
    = \\frac{1}{4}\\sqrt{(2\\rho-2a)(2\\rho-2b)(2\\rho-2c)2\\rho} \\\\
    = \\sqrt{(\\rho-a)(\\rho-b)(\\rho-c)\\rho} \\\\

然后,我们再来进一步思考,这个东西和内心的关系:

对三角形的内切圆来说,如前面 白如冰所说会很自然联想到内切圆:

S = \\frac{1}{2}(2r\\alpha+2r\\beta+2r\\gamma); \\\\
    \\rho = \\alpha + \\beta + \\gamma; \\\\
    S = \\frac{1}{2}r(a+b+c) = r\\rho \\\\
    r^2\\rho^2 = (\\rho-a)(\\rho-b)(\\rho-c)\\rho \\\\
    r^2\\rho = (\\rho-a)(\\rho-b)(\\rho-c) \\\\
    r = \\sqrt{\\frac{(\\rho-a)(\\rho-b)(\\rho-c)}{\\rho}}  \\\\


如此,我们发现,内切圆的半径实际上可以被 半周长 和 a,b,c表示了。
缺点:适用于边数很小的情况,一旦边数增多,计算繁琐,损失精度

C++代码:

 1 typedef struct
 2 {
 3     int x;
 4     int y;
 5 }Point;
 6 Point point[N];
 7 int Area(point[a],point[b],point[c])
 8 {
 9     double area;
10     double la,lb,lc;
11     la=sqrt((point[b].x-point[a].x)*(point[b].y-point[a].y));
12     lb=sqrt((point[c].x-point[b].x)*(point[c].y-point[b].y));
13     lb=sqrt((point[c].x-point[a].x)*(point[c].y-point[a].y));
14     p=(la+lb+lc)/2;
15     area=sqrt(p*(p-la)*(p-lb)*(p-lc));
16     return area;
17 }

 

二:向量计算法

此方法可查看此资料:

https://files.cnblogs.com/files/tenjl-exv/%E5%A4%9A%E8%BE%B9%E5%BD%A2%E9%9D%A2%E7%A7%AF.ppt

有关资料证明:

我们都知道已知A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)三点的面积公式为

                   |x1 x2 x3|
S(A,B,C) =  |y1 y2 y3| * 0.5 = [(x1-x3)*(y2-y3) - (x2-x3)*(y1-y3)] /2
                   |1    1  1 |

(当三点为逆时针时为正,顺时针则为负的)

对于多边形A1A2A3、、、An(顺或逆时针都可以)

设平面上有任意的一点P,则有:

S(A1,A2,A3,、、、,An) = abs(S(P,A1,A2) + S(P,A2,A3)+、、、+S(P,An,A1))

P可以任意取点

如果P取多边形外一点,且取(0,0)时

设点顺序 (x1 y1) (x2 y2) ... (xn yn),则面积等于

             |x1 y1|    |x2 y2|              |xn yn|
S= abs( |        | + |        | + ...... + |         | ) /2
             |x2 y2|    |x3 y3|              |x1 y1|
 
其中

|x1 y1| 
|         | ===  x1*y2 - y1*x2
|x2 y2| 

 

因此面积公式展开为:

             |x1 y1|     |x2 y2|              |xn yn|

S=abs(  |        | +  |        | + ...... +  |        | )  = abs(x1*y2-y1*x2+x2*y3-y2*x3+...+xn*y1-yn*x1) /2
             |x2 y2|     |x3 y3|              |x1 y1|

C++代码如下:

int x[100];
int y[100];

double Area(int *x,int *y,int n)
{
    double s=0;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
    int j=(i+1)%n;
        s+=x[i]*y[j];
        s-=x[j]*y[i];
    }
    s/=2;
    return (s>0?s:-s);
}

  //  area=Area(x,y,n);
  //  n为点的个数

 

以上是关于多边形面积的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

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