2440: [中山市选2011]完全平方数
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Description
小 X 自幼就很喜欢数。但奇怪的是，他十分讨厌完全平方数。他觉得这些
数看起来很令人难受。由此，他也讨厌所有是完全平方数的正整数倍的数。然而
这丝毫不影响他对其他数的热爱。
这天是小X的生日，小 W 想送一个数给他作为生日礼物。当然他不能送一
个小X讨厌的数。他列出了所有小X不讨厌的数，然后选取了第 K个数送给了
小X。小X很开心地收下了。
然而现在小 W 却记不起送给小X的是哪个数了。你能帮他一下吗？
Input
包含多组测试数据。文件第一行有一个整数 T，表示测试
数据的组数。
第2 至第T+1 行每行有一个整数Ki，描述一组数据，含义如题目中所描述。
Output
含T 行，分别对每组数据作出回答。第 i 行输出相应的
第Ki 个不是完全平方数的正整数倍的数。
Sample Input
4
1
13
100
1234567
Sample Output
1
19
163
2030745
HINT
对于 100%的数据有 1 ≤ Ki ≤ 10^9, T ≤ 50
Source
这个题目需要用到莫比乌斯函数、二分答案、容斥原理
做法：
首先二分答案，问题转化为求\\(\\left[1,x\\right]\\)之间有多少个无平方因子数
根据容斥原理可知，对于\\(sqrt(x)\\)之内所有的质数，
答案G(x)=0个质数平方倍数的个数-1个质数平方倍数的个数+2个质数平方倍数的个数-...，
那么对于偶数个质数平方对于答案的贡献就是正的，否则是负的，\\如果不是若干个互异质数的乘积，那么对答案没有影响，
如何表示这个式子呢?
观察莫比乌斯函数的定义\\ref{1}，可以知道对于能对答案产生贡献的数\\(x\\)，\\(\\mu(x)=(-1)^k\\)，其中\\(k\\)为\\(x\\)分解得到质数的个数
根据上述说明，那么可以得知结果
\\[G(x)=\\sum_{i=1}^{\\lfloor \\sqrt{x}\\rfloor}\\mu(i)\\lfloor \\frac{x}{i^2}\\rfloor
\\]
第一次这么快AC一个题真是美滋滋
在BZOJ上跑了4s多不算很快
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define N 100005
#define inf 0x7fffffff
using namespace std;
bool not_prime[N];
int prime[N];
int mu[N];
int tot;
void Mu(int n){
int i,j;
mu[1]=1;
for(i=2;i<=n;i++){
if(!not_prime[i]){
prime[++tot]=i;
mu[i]=-1;
}
for(j=1;prime[j]*i<=n;j++){
not_prime[prime[j]*i]=1;
if(i%prime[j]==0){
mu[prime[j]*i]=0;
break;
}
mu[prime[j]*i]=-mu[i];
}
}
}
int can(int x){
int sum=0;
int s=floor(sqrt(x));
for(int i=1;i<=s;++i)
if(mu[i])
sum+=mu[i]*floor(x/(i*i));
return sum;
}
int main(){
Mu(N);
int T;
scanf("%d",&T);
while(T--){
int num;
scanf("%d",&num);
long long l=1,r=num<<1,mid;
while(l<r){
mid=(l+r)>>1;
if(can(mid)<num)
l=mid+1;
else r=mid;
}
printf("%lld\\n",r);
}
return 0;
}