分治算法求解循环赛问题

Posted 2020-10-17 别人放弃，我依旧坚持

分治算法的基本思想是将一个规模为N的问题分解为K个规模较小的子问题，这些子问题相互独立且与原问题性质相同。求出子问题的解，就可得到原问题的解。

一.分治算法的基本思想

　　当我们求解某些问题时，由于这些问题要处理的数据相当多，或求解过程相当复杂，使得直接求解法在时间上相当长，或者根本无法直接求出。对于这类问题，我们往往先把它分解成几个子问题，找到求出这几个子问题的解法后，再找到合适的方法，把它们组合成求整个问题的解法。如果这些子问题还较大，难以解决，可以再把它们分成几个更小的子问题，以此类推，直至可以直接求出解为止。这就是分治策略的基本思想。

二.分治算法求解问题的步骤

　　(1)  分解，将要解决的问题划分成若干规模较小的同类问题;
　　(2)  求解，当子问题划分得足够小时，用较简单的方法解决;
　　(3)  合并，按原问题的要求，将子问题的解逐层合并构成原问题的解。

三.分治算法的应用场景

运用分治策略解决的问题一般来说具有以下特点:
　　(1)  原问题可以分解为多个子问题这些子问题与原问题相比，只是问题的规模有所降低，其结构和求解方法与原问题相同或相似。
　　(2)  原问题在分解过程中，递归地求解子问题由于递归都必须有一个终止条件，因此，当分解后的子问题规模足够小时，应能够直接求解。
　　(3)  求解并得到各个子问题的解后应能够采用某种方式、方法合并或构造出原问题的解。

四.循环赛日程表问题

问题：设有n=2^k个球队参加循环赛，要求设计一个满足以下要求比赛日程表：
　　(1)  每支球队必须与其他n-1支球队各赛一次；
　　(2)  每支球队一天只能参赛一次；
　　(3)  循环赛在n-1天内结束。

　　按此要求将比赛日程表设计成有 n 行和 n 列的一个表。在表中的第 i 行，第 j 列处填入为第 i 个球队在第 j 天所遇到的球队。其中 1 ≤ i ≤ n，2 ≤ j ≤ n。8 个球队的比赛日程表如下图：

　　

五.分治法求解循环赛问题

 1 /**
 2  * 分治算法：循环赛日程表
 3  * 题目：2^n支球队，进行循环赛，要求如下：
 4  * (1)每支球队必须与其他n-1支球队各赛一次；
 5  * (2)每支球队一天只能参赛一次；
 6  * (3)循环赛在n-1天内结束。
 7  * @author Administrator
 8  *
 9  */
10 public class Dispatch {
11     /**
12      * 循环赛日程安排
13      * @param table 循环赛日程表
14      * @param n 球队的数量
15      */
16     private void scheduleTable(int [][] table,int n) {
17         //只有一支球队
18         if(n==1) {
19             table[0][0]=1;
20         }else {
21             //填充左上区域矩阵
22             int m=n/2;
23             //递归确定左上区域矩阵
24             scheduleTable(table, m);//既就是m支球队进行循环赛
25             //填充右上区域矩阵
26             //根据已经填充的左上区域，来确定右上区域矩阵
27             for(int i=0;i<m;i++) {
28                 for(int j=m;j<n;j++) {
29                     table[i][j]=table[i][j-m]+m;
30                 }
31             }
32             
33             //填充左下区域矩阵
34             //根据右上区域矩阵填充左下区域矩阵
35             for(int i=m;i<n;i++) {
36                 for(int j=0;j<m;j++) {
37                     table[i][j]=table[j][i];
38                 }
39             }
40             
41             //填充右下区域矩阵
42             //根据左上区域矩阵填充右下区域矩阵
43             for(int i=m;i<n;i++) {
44                 for(int j=m;j<n;j++) {
45                     table[i][j]=table[i-m][j-m];
46                 }
47             }
48         }
49     }
50 
51     public static void main(String[] args) {
52         int n=16;  //球队
53         int [][] table=new int[n][n];
54         Dispatch dispatch=new Dispatch();
55         dispatch.scheduleTable(table, n);
56         
57         //打印结果
58         for(int i=0;i<table.length;i++) {
59             for(int j=0;j<table[i].length;j++) {
60                 System.out.print(table[i][j]+" ");
61             }
62             System.out.println();
63         }
64     }
65 
66 }

六.测试结果

　　16支球队循环赛日程安排如下：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 
2 1 4 3 6 5 8 7 10 9 12 11 14 13 16 15 
3 4 1 2 7 8 5 6 11 12 9 10 15 16 13 14 
4 3 2 1 8 7 6 5 12 11 10 9 16 15 14 13 
5 6 7 8 1 2 3 4 13 14 15 16 9 10 11 12 
6 5 8 7 2 1 4 3 14 13 16 15 10 9 12 11 
7 8 5 6 3 4 1 2 15 16 13 14 11 12 9 10 
8 7 6 5 4 3 2 1 16 15 14 13 12 11 10 9 
9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 
10 9 12 11 14 13 16 15 2 1 4 3 6 5 8 7 
11 12 9 10 15 16 13 14 3 4 1 2 7 8 5 6 
12 11 10 9 16 15 14 13 4 3 2 1 8 7 6 5 
13 14 15 16 9 10 11 12 5 6 7 8 1 2 3 4 
14 13 16 15 10 9 12 11 6 5 8 7 2 1 4 3 
15 16 13 14 11 12 9 10 7 8 5 6 3 4 1 2 
16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1