[AH/HNOI2017]抛硬币

Posted 2020-10-16 Z-Y-Y-S

题目描述

小 A 和小 B 是一对好朋友，他们经常一起愉快的玩耍。最近小 B 沉迷于**师手游，天天刷本，根本无心搞学习。但是已经入坑了几个月，却一次都没有抽到 SSR，让他非常怀疑人生。勤勉的小 A 为了劝说小 B 早日脱坑，认真学习，决定以抛硬币的形式让小 B 明白他是一个彻彻底底的非洲人，从而对这个游戏绝望。两个人同时抛 b 次硬币，如果小 A 的正面朝上的次数大于小 B 正面朝上的次数，则小 A 获胜。

但事实上，小 A 也曾经沉迷过拉拉游戏，而且他一次 UR 也没有抽到过，所以他对于自己的运气也没有太大把握。所以他决定在小 B 没注意的时候作弊，悄悄地多抛几次硬币，当然，为了不让小 B 怀疑，他不会抛太多次。现在小 A 想问你，在多少种可能的情况下，他能够胜过小 B 呢？由于答案可能太大，所以你只需要输出答案在十进制表示下的最后 k 位即可。

输入输出格式

输入格式：

 

有多组数据，对于每组数据输入三个数a,b,k，分别代表小A抛硬币的次数，小B抛硬币的次数，以及最终答案保留多少位整数。

 

输出格式：

 

对于每组数据，输出一个数，表示最终答案的最后 k 位为多少，若不足 k 位以 0 补全。

 

输入输出样例

输入样例#1： 复制

2 1 9
3 2 1

输出样例#1： 复制

000000004
6

说明

对于第一组数据，当小A抛2次硬币，小B抛1次硬币时，共有4种方案使得小A正面朝上的次数比小B多。

(01,0), (10,0), (11,0), (11,1)

对于第二组数据，当小A抛3次硬币，小B抛2次硬币时，共有16种方案使得小A正面朝上的次数比小B多。

(001,00), (010,00), (100,00), (011,00), (101,00), (110,00), (111,00), (011,01), (101,01), (110,01),(111,01), (011,10), (101,10), (110,10), (111,10), (111,11).

数据范围

10%的数据满足a,b≤20；

30%的数据满足a,b≤100；

70%的数据满足a,b≤100000，其中有20%的数据满足a=b；

100%的数据满足1\\le a,b\\le 10^{15},b\\le a\\le b+10000,1\\le k\\le 91≤a,b≤1015,b≤a≤b+10000,1≤k≤9，数据组数小于等于10。

转载http://www.cnblogs.com/Yuzao/p/7954245.html

因为 \\(a-b\\) 很小，考虑怎么把式子变成和 \\(a-b\\) 有关.
考虑 \\(a=b\\) 的情况，赢了翻转后就输了，平局不算在内，

要减掉的。减了之后再除。推导如下：

$$\\sum_{i=0}^{a}C_a^i * C_a^i = \\sum_{i=0}^{a}C_a^i * C_a^{a-i} = C_{2a}^a$$

平局方案为C(2a,a)

所以答案为 \\((2^{a+b}-C(2a,a))/2\\).
\\(a>b\\) 时，同样存在对称性，对于正着会输，反过来就赢得情况，就是 \\(2^{a+b}/2\\) 种
对于正着反着都赢的情况还没有算进去:
\\[\\sum_{i=1}^{b}\\sum_{j=1}^{a-b-1}C_{b}^{i}*C_{a}^{i+j}\\]
\\[\\sum_{i=1}^{b}\\sum_{j=1}^{a-b-1}C_{b}^{b-i}*C_{a}^{i+j}\\]
\\[\\sum_{j=1}^{a-b-1}C_{a+b}^{b+j}\\]
\\[\\sum_{j=b+1}^{a-1}C_{a+b}^{j}\\]
对于除2，根据对称性，只算一半即可，注意偶数情况，存在一项需要手动除2，算2时在因子中减去，算5时直接乘逆元即可

取模不是素数，所以要中国剩余定理

可以默认模数为10^9，输出时取模

  1 #include<iostream>
  2 #include<cstdio>
  3 #include<cstring>
  4 #include<algorithm>
  5 using namespace std;
  6 typedef long long ll;
  7 ll K,fac[6][2000001];
  8 ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
  9 {
 10   if (b==0)
 11     {
 12       x=1;y=0;
 13       return a;
 14     }
 15   ll d=exgcd(b,a%b,x,y);
 16   ll t=x;x=y;y=t-(a/b)*x;
 17   return d;
 18 }
 19 ll qpow(ll a,ll b,ll mod)
 20 {
 21   ll res=1;
 22   while (b)
 23     {
 24       if (b&1) res=res*a%mod;
 25       a=a*a%mod;
 26       b/=2;
 27     }
 28   return res;
 29 }
 30 ll rev(ll a,ll b)
 31 {
 32   ll x,y;
 33   exgcd(a,b,x,y);
 34   return (x%b+b)%b;
 35 }
 36 ll calfac(ll x,ll p,ll t)
 37 {
 38   if (x<t) return fac[t][x];
 39   ll s=qpow(fac[t][p-1],x/p,p);
 40   s=(s*fac[t][x%p])%p;
 41   s=(s*calfac(x/t,p,t))%p;
 42   return s;
 43 }
 44 ll lucas(ll b,ll a,ll t,ll p,bool q)
 45 {ll i;
 46   if (b<a) return 0;
 47   ll ap=0,bp=0,cp=0;
 48   for (i=b;i;i/=t) ap+=i/t;
 49   for (i=a;i;i/=t) bp+=i/t;
 50   for (i=b-a;i;i/=t) cp+=i/t;
 51   ap=ap-bp-cp;
 52   if (q==1&&t==2) ap--;
 53   if (ap>=K) return 0;
 54   ll s=qpow(t,ap,p);
 55   ap=calfac(b,p,t);bp=calfac(a,p,t),cp=calfac(b-a,p,t);
 56   s=((s*ap%p)*(rev(bp,p)*rev(cp,p))%p)%p;
 57   if (q&&t==5) s=s*rev(2,p)%p;
 58   return s;
 59 }
 60 ll cal(ll a,ll b,ll Mod,ll pr)
 61 {ll i;
 62   ll ans=qpow(2,a+b-1,Mod);
 63   if (a==b) 
 64     {
 65       ans=(ans-lucas(a+b,a,pr,Mod,1)+Mod)%Mod;
 66       return ans;
 67     }
 68   else 
 69     {
 70       for (i=(a+b)/2+1;i<a;i++)
 71     ans=(ans+lucas(a+b,i,pr,Mod,0)+Mod)%Mod;
 72     }
 73   if ((a+b)%2==0) ans=(ans+lucas(a+b,(a+b)/2,pr,Mod,1)+Mod)%Mod;
 74   return ans;
 75 }
 76 ll work(ll a,ll b,ll k)
 77 {
 78   ll p1=qpow(2,k,2e9+5),p2=qpow(5,k,2e9+5),mod=qpow(10,k,2e9+5);
 79   ll b1=cal(a,b,p1,2),b2=cal(a,b,p2,5);
 80   ll a1=rev(p2,p1),a2=rev(p1,p2);
 81   return (b1*(p2*a1%mod)%mod+b2*(p1*a2%mod)%mod)%mod;
 82 }
 83 void print(ll d,ll k)
 84 {
 85   if (k==1)
 86     printf("%01lld\\n",d%qpow(10,1,2e9+5));
 87   if (k==2)
 88     printf("%02lld\\n",d%qpow(10,2,2e9+5));
 89   if (k==3)
 90     printf("%03lld\\n",d%qpow(10,3,2e9+5));
 91   if (k==4)
 92     printf("%04lld\\n",d%qpow(10,4,2e9+5));
 93   if (k==5)
 94     printf("%05lld\\n",d%qpow(10,5,2e9+5));
 95   if (k==6)
 96     printf("%06lld\\n",d%qpow(10,6,2e9+5));
 97   if (k==7)
 98     printf("%07lld\\n",d%qpow(10,7,2e9+5));
 99   if (k==8)
100     printf("%08lld\\n",d%qpow(10,8,2e9+5));
101   if (k==9)
102     printf("%09lld\\n",d%qpow(10,9,2e9+5));
103 }
104 int main()
105 {ll a,b,k,i,p;
106   fac[2][0]=1;p=qpow(2,9,2e9+5);
107   for (i=1;i<=p-1;i++)
108     if (i%2==0) fac[2][i]=fac[2][i-1];
109     else fac[2][i]=fac[2][i-1]*i%p;
110   fac[5][0]=1;p=qpow(5,9,2e9+5);
111   for (i=1;i<=p-1;i++)
112     if (i%5==0) fac[5][i]=fac[5][i-1];
113     else fac[5][i]=fac[5][i-1]*i%p;
114   while (cin>>a>>b>>k)
115     {
116       K=9;ll d=work(a,b,9);
117       print(d,k);
118     }
119 }