UVA10325 The Lottery（ 容斥原理）

Posted 2020-07-03 Ritchie丶

题意： 给定一个数n 再给m个数（m<15） 假设这m个数为 a[0],a[1].....a[m-1];

　　　　求1~n中非数组a的数的倍数的数，就是把1~n中数组a的数的倍数筛掉，剩下的数的个数就是结果。

　　　　暴力跑会超时，利用容斥原理，比如n=10，m=2，a[0]=2,a[1]=3,把1到20中所有2的倍数筛掉，

　　　　先令ans=n=20，ans=ans-n/2=10。再把1到20中所有3的倍数筛掉，ans=ans-n/3=4。

　　　　那么现在问题来了，这么筛选的话会导致2和3的公倍数进行了二次筛选，也就是6,12,18这三个数，

　　　　所以要把这三个数加回来，ans=ans+n/（2*3）=7，得出最终结果。以此类推，数的个数为奇数就减，

　　　　数的个数为偶数就加，这就是容斥原理。

注意 ：本题给的数不一定为质数，也可能为合数，上述容斥原理适用于质数，

　　 　 在本题中进行容斥原理时要用他们的最小公倍数lcm。

　　　　比如n=10，m=2，a[0]=2,a[1]=4,这组数据，可验证本题要用lcm，而不是a[0]*a[1]。

　

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll n,m,a[20],ans;
ll gcd(ll a,ll b) //求最大公约数
{
    return b==0? a:gcd(b,a%b);
}
ll lcm(ll a,ll b) //求最小公倍数
{
    return a/gcd(a,b)*b;
}
void dfs(ll hav,ll cur,ll num) //容斥原理
{
    if(hav>n||cur>=m)  //m=2 m!=15
    return ;
    for(int i=cur;i<m;i++) //注意区分这里的i和主函数里的i，如果混了就错了
    {
        ll temp=lcm(hav,a[i]);
        if(num&1)
        ans-=n/temp; //奇数减
        else
        ans+=n/temp; //偶数加
        dfs(temp,i+1,num+1);
    }
}
int main()
{
    ll i,j;
    while(scanf("%lld%lld",&n,&m)!=EOF)
    {
        for(i=0;i<m;i++)
        cin>>a[i];
        ans=n;
        for(i=0;i<m;i++)
        {
            ans-=n/a[i]; //奇数减
            dfs(a[i],i+1,2);
        }
        cout<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}