2016级算法第四次上机-A.Bamboo 和人工zz

Posted 2020-10-16 AlvinZH

Bamboo和人工ZZ

题意：

非常直白，经典的动态规划矩阵链乘问题

分析：

矩阵链A1A2..An满足结合律，可以使用加括号的方式，降低运算代价。
一个pq的矩阵和一个qr的矩阵相乘，计算代价为pqr

加括号时满足动态规划的特性
长度为1的矩阵不需要加括号
长度>=2的矩阵链AiAi+1.....Aj，势必在 Ak和Ak+1之间加括号，分成的两组中各自的加括号方案已经是最优的了。
以m[i][j]表示Ai-Aj矩阵链乘的代价，则
核心语句：
i=j m[i][j]=0;
i<j m[i][j] = min(m[i][k] + m[k+1][j] + pi-1pkpj); i<=k<j
l:矩阵链长度，长度为1无需考虑
i：与j遍历所有长度为l的矩阵链
k:遍历所有可能的分割点
保留最小的方案

输出括号化方案，s[i][j]记录分割点k，递归输出方案。注意左边优先，有两种方式，可以在判断if(q<=m[i][j])时加上等号；或者内层的k循环倒序

伪代码

int p[]
int m[][]
int s[][]
void Multiply()
{
    Initialization of m[][]
    for l = 2:n
        for i = 1: n-l+1
        j = i+l-1
        m[i][j]= INF
        for  k = i:=j-1
        
             q = m[i][k]+m[k+1][j]+ p[i-1]*p[k]*p[j]
            if(q<=m[i][j])
                m[i][j] = q
                s[i][j] = k
            end
        end
     end  
}
void Print( i, j)
{
    if(i==j)
        printf("A%d",i)
    else
        printf("(")
        Print(i,s[i][j])
        Print(s[i][j]+1, j)
        printf(")")
    end
}

代码如下：

#include<stdio.h>
#include<math.h>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
int p[310];
int m[305][305];
int s[305][305];
const int INF = 1<<30;
void Mulity(int n)
{
    for(int i = 0;i<=n;i++)
        m[i][i] = 0;
    for(int l = 2; l<=n;l++)
        for(int i = 1; i<= n-l+1;i++)
    {
        int j = i+l-1;
        m[i][j]= INF;
        for(int k = i;k<=j-1;k++)
        {
            int q = m[i][k]+m[k+1][j]+ p[i-1]*p[k]*p[j];
            if(q<=m[i][j])
            {m[i][j] = q;
            s[i][j] = k;
            }
        }
    }
}
void Print(int i,int j)
{
    if(i==j)
        printf("A%d",i);
    else
    {
        printf("(");
        Print(i,s[i][j]);
        Print(s[i][j]+1, j);
        printf(")");
    }
}
int main()
{
    int n;
    while(~scanf("%d",&n))
    {
        for(int i = 0;i<=n;i++)
            scanf("%d",&p[i]);
        Mulity(n);
        printf("%d\n",m[1][n]);
        Print(1,n);
        printf("\n");
    }
    }