二叉树及其实现(基础版)

Posted 2020-10-16 仪式黑刃

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了二叉树及其实现(基础版)相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

前言：常见的数据结构都有指针和数组两种实现方式，这篇先介绍指针实现，而数组实现在后续文章里会讲到。

（长文预警！）

说完了一般的树，我们再来看看二叉树，这是一种很典型的树，它的所有节点度数都不超过2，最多只有两个孩子。这是一种特例，但是后面我们会看到在保证有序性和有根性之后，它却足以描述所有的树。每个节点的出度最多为2，在之前对所有节点按照深度划分的等价类，从规模上看就构成了一个公比为2的等比数列，相应地，深度为k（第k层）的节点，最多有2^k个。那么对于含n个节点、高度为h的二叉树中（这里再多说一句，高度指的是：除了根节点，下面有几层高度就是几，回想一下，空树高度是-1，一个根节点高度为0。），满足这样一个条件：

h<n<2^h+1。

这个性质很好证明。对于上界的情况，树的每一层都是满的，所以从根到第n层累加，总数=1+2+4+…+2ⁿ=2ⁿ⁺¹- 1，也就是右半部分。而下界情况，根据定义每层至少有一个节点，所以一共h+1个，这种情况下，树就退化为一条单链。

具体来说一下上界的情况，在这个时候节点个数n=2^h-1，是一颗满树，那每一层（每一个等价类）都会到达饱和状态。它的横向上的宽度与在纵向上的高度是呈指数关系的——h=log(W)，高度会增长的很慢。

相关实现

讨论了二叉树的基本信息后，就该进入正题了，Talk is cheap,show me the code。现在来谈谈怎么在计算机中实现一棵二叉树。谈一个东西的实现不能脱离实际背景，不然就成了空中楼阁，二叉树也有很多种，比如最大堆，最小堆，优先队列，搜索树，这里给出一个其中一个二叉树的具体例子。首先需要知道的是，二叉树的一个重要应用是他们在查找（搜索）中的使用，那为什么查找往往要依靠树形结构呢？这是很自然的一个问题，前面的文章中我们说过，树结构对静态和动态操作的支持都是十分迅速的，因此是这种高效性使得树结构成为了搜索的“天选之人”。这也告诉我们，如果自身很强，那么遇到机会时才有可能把握住，机会是留给有准备的人（突然鸡汤2333）。

假设树中的每个节点内部存了一个值，任何复杂的值都可以，不过这里为了简单起见，让它们都是int型，同时假设他们是互异的，以后我们再处理有重复值的情形。我们要进行一些操作的前提是：知道规则，有了规则，操作的步骤就一目了然了，这是老师在课上反复强调的。那搜索树的规则就是——对于每个节点X（作为根），左子树中存的所有值都小于X存的值；右子树的所有值都大于X的值。也就是从小到大依次是左-根-右，就像这样：

这个性质要引起注意，这意味着树中的所有元素可以用统一的方式排序。为什么要这样说？因为树是递归构造的，其中每一棵子树中都满足这个性质，那我们的排序过程就可以逐步分解到最小的子树中，每个被分解的部分和原来的总体都是“性质相同的子问题”这样一种关系，所以可以用统一的方法，从最小的子问题推而广之，直至解决整个问题。

现在具体说说怎么实现他们，由于树是递归定义的，所以通常递归地编写操作函数，前面说了，二叉树的平均深度是多少来着？忘的话往上翻翻。由于平均深度增长地很慢，所以我们不必担心栈空间被用尽（emmm这怎么突然提到栈了，忘了的话去前面讲栈的文章里翻翻）。先给出一般性的结点声明

1 struct BinNode;
2 typedef struct BinNode *Position;         //只需要拿到某个单结点时用它表示
3 typedef struct BinNode *SearchTree;       //对整棵树操作时，用它表示返回类型
4 
5 struct BinNode{
6     int Value;
7     SearchTree Left,Right;
8 };

这里又遇到和链表那里一样，用两个typedef替换同一个类型的情况了，稍后我们会看到如此逻辑分层的优势，它便于我们在大脑中构建一个清晰的搜索树ADT模型。现在只要知道他们表示的都是一个指向二叉树节点的指针就好了，只是所指示的侧重有细微的不同。按照惯例，先说初始化的操作，然后说查找元素，最后就是重头戏——插入和删除了。每种结构都按这个顺序来讲解看似单调乏味，但这的确是我们从0搭建一个结构的必由之路，从简到繁，自下而上这也符合人类的认知规律。

1 SearchTree MakeEmpty(SearchTree T){
2     if (T){
3         MakeEmpty(T->Left);
4         MakeEmpty(T->Right);
5         free(T);
6     }
7     return NULL;
8 }

给这个函数输入一个节点作为根，然后在它不为空的情况下，逐层递归地销毁它以下的所有子树。注意到了吧，这里用的是“SearchTree”来标识，因为置空后要返回的是一个根节点，实际上从整体理解，是以返回值为根的一整棵树（当然这里是空树）。

再说查找，它要返回的是一个指针，指向我们所查的值所在的结点（既然只返回一个单一结点指针，自然用Position做返回类型更清晰），没有的话就NULL。树的结构使得这种操作很简单，我们先分析一下大体策略：如果T是NULL，也就是走到某一个叶子结点仍然没有找到，那就返回NULL；如果T中存的值是要查找的X，那么返回T的地址；如果既没找到，但也没走到末尾（叶结点）时，就按照X和根节点的大小关系来逐层递归左或右子树：如果比根小，左边，否则右边，这就很类似二分查找的思想。

1 Position Find(int X,SearchTree T){
2     if(T == NULL) return NULL;      //如果走到叶子还没找到，返回空
3     if (X < T->Value)  return Find(X, T->Left); //如果给定值比根小，往左边找
4     else if(X > T->Value) return Find(X , T->Right);//比根大就往右找
5     else return T;  //这种情况就是某时X==T->Value，正好命中的情况
6 }

接着来说两种Find的具体情况，分别是找最小最大值，这种递归写法是很自然的，以至于深受喜爱，不过递归调用过多的话会占用大量资源，这是一个弊端，所以迭代和递归两种方法都要熟稔于心。因此，我们用两种方法编写，FindMin（递归）和FindMax（迭代）。

1 Position FindMin(SearchTree T){
2     if(T == NULL) return NULL;         //同上
3     else if (T->Left==NULL) return  T;   //左子树空，意味着没有比它更小的值了，直接返回地址
4     else return FindMin(T->Left); //如果上面两个情况都不符合，接着往左找
5 }

1 Position FindMax(SearchTree T) {
2     if (T!=NULL)         //没有走到叶结点时寻找
3         while (T->Right!=NULL)    //右边还有子树时一直往右走
4             T=T->Right;
5     return T;             //这个return包含了两种情形，如果传入的是叶子，自动返回NULL，如果找到最右边了，返回对应地址
6 }

同理，查找最小值的如果用迭代来写，就是完全对称的。

1 SearchTree FindMinByLoop(SearchTree T) {
2     if(T)
3         while (T->Left)
4             T=T->Left;
5     return  T;
6 }

这里要注意时如何处理空树这种退化情形的，一定要小心。

接着就是两大重头戏——插入和删除，我们慢慢讨论，对于插入一个数X来讲，从概念上很好理解：先用find查一下，看是不是已经存在，有的话就不用做什么了（或者做一些修改）。如果没有，就把X插到遍历路径的末尾。

比如对于这样一棵树

我们要插入66这个数，那么就应该按下面这个路径放置。

 1 SearchTree Insert(SearchTree T,int X) {
 2     if(!T){             //这是应对初始情况,空树
 3         T=(SearchTree)malloc(sizeof(struct BinNode));
 4         T->Value=X;
 5         T->Left=T->Right=NULL;  //底部封口
 6     }
 7     //在一棵现成的树里插入，二分查找
 8     else if (X < T->Value) T->Left=Insert(T->Left, X);
 9     else if (X > T->Value) T->Right=Insert(T->Right, X);
10     //X==T->Value的情况什么也不用做
11     return T;
12 }

而正如许多数据结构一样，最困难的是删除，因为这会涉及到好多种情况，我们都需要将其考虑在内。

节点是一片叶子
节点有一个儿子
节点有两个儿子

分类讨论，1.叶子的话就直接删除。

2.只有一个儿子的话，就可以在它的父节点调整指针时绕过该节点后被删除。

这棵树中，删除4

从父节点直接绕过去，bypass

而有两个儿子的话情况就复杂了，一般来说是用它右子树下最小的数据来代替该节点数据并递归删除。因为右子树下面最小的节点不可能有左儿子，所以第二次delete就更容易了。

//好像插入不了视频……所以请点击这里查看删除演示。如果你们知道怎么弄，请在评论里告诉我

以上是关于二叉树及其实现(基础版)的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章

数据结构(C语言版)严蔚敏-＞二叉树（链式存储结构）的构造及其几种遍历方式(先序中序后序层次)和线索二叉树