HDU1695GCD（莫比乌斯反演）

Posted 2020-10-16 小蒟蒻yyb的博客

【HDU1695】GCD（莫比乌斯反演）

题面

题目大意

求\(a<=x<=b,c<=y<=d\)
且\(gcd(x,y)=k\)的无序数对的个数
其中，你可以假定\(a=c=1\)
所有数都\(<=100000\)
数据组数\(<=3000\)

题解

莫比乌斯反演

作为一道莫比乌斯反演的题目
首先我们要迈出第一步
如果有\(gcd(x,y)=k\)
那么，我们就有\(gcd(\frac{x}{k},\frac{y}{k})=1\)
所以，现在问题相当于转化为了求
\(x<=\frac{b}{k},y<=\frac{d}{k}\)
且\(x,y\)互质的组数

设\(f(i)\)表示\(gcd(u,v)=i\)的个数（有序）
\(g(i)=\sum_{i|d}f(i)\)，表示\(gcd(u,v)=ki,k∈Z\)的个数
很容易的，\(g(i)=(\frac bk/i)·(\frac dk/i)\)
通过莫比乌斯反演就可以直接计算啦
时间复杂度\(O(T·n),n=min(a,b)\)
再提一句，因为是无序的数对
所以要减去重复计算的地方。。。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<map>
#include<vector>
#include<queue>
using namespace std;
#define MAX 101000
inline int read()
{
    int x=0,t=1;char ch=getchar();
    while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
    if(ch=='-')t=-1,ch=getchar();
    while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
    return x*t;
}
int mu[MAX],pri[MAX],tot;
long long g[MAX],n,a,b,K;
bool zs[MAX];
void Get()
{
    zs[1]=true;mu[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;++i)
    {
        if(!zs[i])pri[++tot]=i,mu[i]=-1;
        for(int j=1;j<=tot&&i*pri[j]<=n;++j)
        {
            zs[i*pri[j]]=true;
            if(i%pri[j])mu[i*pri[j]]=-mu[i];
            else {mu[i*pri[j]]=0;break;}
        }
    }
}
int main()
{
    n=100000;
    Get();
    int T=read(),Case=0;
    while(T--)
    {
        cout<<"Case "<<++Case<<": ";  
        read();a=read();read();b=read();K=read();
        if(!K){puts("0");continue;}
        a/=K;b/=K;
        long long ans=0,mi=0;
        for(int i=1;i<=min(a,b);++i)g[i]=1ll*(a/i)*(b/i);
        for(int i=1;i<=min(a,b);++i)ans+=1ll*mu[i]*g[i];
        for(int i=1;i<=min(a,b);++i)mi+=1ll*mu[i]*(min(a,b)/i)*(min(a,b)/i);
        printf("%lld\n",ans-mi/2);
    }
    return 0;
}