NOIP2017 D1 T1 小凯的诱惑

Posted 2020-10-16 小米狐

 

题目描述

小凯手中有两种面值的金币，两种面值均为正整数且彼此互素。每种金币小凯都有 无数个。在不找零的情况下，仅凭这两种金币，有些物品他是无法准确支付的。现在小 凯想知道在无法准确支付的物品中，最贵的价值是多少金币？注意：输入数据保证存在 小凯无法准确支付的商品。

输入输出格式

输入格式：

输入数据仅一行，包含两个正整数 $a$ 和 $b$，它们之间用一个空格隔开，表示小凯手 中金币的面值。

输出格式：

输出文件仅一行，一个正整数 $N$，表示不找零的情况下，小凯用手中的金币不能准确支付的最贵的物品的价值。

【数据范围与约定】

对于 30%的数据： $1 \le a,b \le 50$。

对于 60%的数据： $1 \le a,b \le 10^4$。

对于 100%的数据：$1 \le a,b \le 10^9$。

【题解】

        ①可以得到结论：ans=a*b-a-b（然后你可以水掉它或者继续到②）

        ②（现在想像自己是数竞的）

        引理：不定方程：ax+by=c若有解，a，b，c＞0                   

                则必有一特解使得-a＜y0≤0，x＞0；

      （引理可以用数轴法，不再赘述）

      证明：

       先证ax+by=ab-a-b在题设下无解    我要变形了！                     -》   a（x+1）+b（y+1）=ab  可得：a|y+1 b|x+1 ，于是可设：y=k2*a-1，x=k1*b-1     k1，k2＞0；

-》   ab*（k1+k2-1）=0  即（k1+k2-1）=0矛盾；

       再证ax+by=ab-a-b+k（k＞0）在题设下必有解   我又要变形了！

-》   a（x+1）+b（y+1）=ab+k 设x+1=x1，y+1=y1 不失正确性的将它 拆成：ax1+by1=ab    …①           ax2+by2=k    …②

       由①可得x1=0，y1=a的特解，由②再加引理可得有一组x2＞0，-a＜ y2≤0 加一加就可以得到原方程必有一组解使得x＞0，0＜y≤a；

       综上即ab-a-b为ans

       证毕。