图的计数

Posted 2020-10-16

「BZOJ 3456」带标号无向连通图计数

　　求 n(5000) 个点的带标号无向连通图个数。

　　连通计数有两种套路：

　　1.　f = e ^ g

　　2.　用总的方案数 f[n] 减去不连通的方案数，枚举 1 号点所在的连通块的大小，利用先前的信息递推，有 $g[n] = f[n] - \sum_{i = 2} ^ n \binom{n - 1}{i - 1} g[i] f[n-i]$ 。

 

「COGS 2353」带标号 DAG 计数

　　求 n(5000) 个点的带标号 DAG 个数。

　　流程：每次添加正整数 k 个度数为 0 的点，任意连有向边到原来的所有点。能够保证刻画出所有的 DAG ，但是一个 DAG 可能被描述多次，所以考虑容斥。Pi 表示第 i 个点的度数为 0 ，所以 $f[n] = |P_1 \cup P_2 \cup ... \cup P_n| = \sum_{k = 1} ^ n (-1) ^ {k - 1} \binom{n}{k} 2 ^ {k(n - k)} f[n-k]$ 。

 

「COGS 2396」强连通图计数

　　求 n(1000) 个点的带标号强连通图个数。

　　对于计算一个未知量，通常考虑将它表示，更一般地，将未知量与熟悉的已知量建立等量关系。