bzoj 2005

Posted 2020-10-16 LuZhiyuan

2005: [Noi2010]能量采集

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Description

栋栋有一块长方形的地，他在地上种了一种能量植物，这种植物可以采集太阳光的能量。在这些植物采集能量后，

栋栋再使用一个能量汇集机器把这些植物采集到的能量汇集到一起。 栋栋的植物种得非常整齐，一共有n列，每列

有m棵，植物的横竖间距都一样，因此对于每一棵植物，栋栋可以用一个坐标(x, y)来表示，其中x的范围是1至n，

表示是在第x列，y的范围是1至m，表示是在第x列的第y棵。 由于能量汇集机器较大，不便移动，栋栋将它放在了

一个角上，坐标正好是(0, 0)。 能量汇集机器在汇集的过程中有一定的能量损失。如果一棵植物与能量汇集机器

连接而成的线段上有k棵植物，则能量的损失为2k + 1。例如，当能量汇集机器收集坐标为(2, 4)的植物时，由于

连接线段上存在一棵植物(1, 2)，会产生3的能量损失。注意，如果一棵植物与能量汇集机器连接的线段上没有植

物，则能量损失为1。现在要计算总的能量损失。 下面给出了一个能量采集的例子，其中n = 5，m = 4，一共有20

棵植物，在每棵植物上标明了能量汇集机器收集它的能量时产生的能量损失。 在这个例子中，总共产生了36的能

量损失。

Input

仅包含一行，为两个整数n和m。

Output

仅包含一个整数，表示总共产生的能量损失。

Sample Input

【样例输入1】
5 4
【样例输入2】
3 4

Sample Output

【样例输出1】
36
【样例输出2】
20
对于100%的数据：1 ≤ n, m ≤ 100,000。

HINT

 

Source

代码：

//会发现(x,y)到(0,0)路上有gcd(x,y)-1棵植物，即求sum(2*gcd(i,j)-1),(1<=i<=n,1<=j<=m),然后枚举每一个gcd算
//贡献度，n以内以i为因子的数有(n/i)个，还要减去以i的倍数作为因子的数的个数就不会算重了。这到这算记录一下
//就行了
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll n,m,f[100009];
int main()
{
    memset(f,0,sizeof(f));
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    ll ans=0;
    if(n>m) swap(n,m);
    for(int i=n;i>=1;i--){
        f[i]=(n/i)*(m/i);
        for(int j=i*2;j<=n;j+=i)
            f[i]-=f[j];
        ans+=f[i]*(i+i-1);
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}