网络流24题数字梯形问题（费用流）（最大权不相交路径）

Posted 2020-10-16 Kaiser

1913 数字梯形问题

 

 时间限制: 2 s

 空间限制: 256000 KB

 题目等级 : 大师 Master 

 

题目描述 Description

给定一个由n 行数字组成的数字梯形如下图所示。梯形的第一行有m 个数字。从梯形
的顶部的m 个数字开始，在每个数字处可以沿左下或右下方向移动，形成一条从梯形的顶
至底的路径。
规则1：从梯形的顶至底的m条路径互不相交。
规则2：从梯形的顶至底的m条路径仅在数字结点处相交。
规则3：从梯形的顶至底的m条路径允许在数字结点相交或边相交。

对于给定的数字梯形，分别按照规则1，规则2，和规则3 计算出从梯形的顶至底的m
条路径，使这m条路径经过的数字总和最大。

输入描述 Input Description

 

第1 行中有2个正整数m和n（m,n<=20），分别
表示数字梯形的第一行有m个数字，共有n 行。接下来的n 行是数字梯形中各行的数字。
第1 行有m个数字，第2 行有m+1 个数字，…。

输出描述 Output Description

将按照规则1，规则2，和规则3 计算出的最大数字总和输出

样例输入 Sample Input

每行一个最大总和。

样例输出 Sample Output

2 5
2 3
3 4 5
9 10 9 1
1 1 10 1 1
1 1 10 12 1 1

数据范围及提示 Data Size & Hint

66
75
77

 

转了，主要看不懂题意，什么允许在节点处相交？？

规则(1)
把梯形中每个位置抽象为两个点<i.a>,<i.b>，建立附加源S 汇T。
1、对于每个点i 从<i.a>到<i.b>连接一条容量为1，费用为点i 权值的有向边。
2、从S 向梯形顶层每个<i.a>连一条容量为1，费用为0的有向边。
3、从梯形底层每个<i.b>向T 连一条容量为1，费用为0的有向边。
4、对于每个点i 和下面的两个点j，分别连一条从<i.b>到<j.a>容量为1，费用为0的有向边。
求最大费用最大流，费用流值就是结果。
规则(2)
把梯形中每个位置看做一个点i，建立附加源S 汇T。
1、从S 向梯形顶层每个i 连一条容量为1，费用为0的有向边。
2、从梯形底层每个i 向T 连一条容量为无穷大，费用为0的有向边。
3、对于每个点i 和下面的两个点j，分别连一条从i 到j 容量为1，费用为点i 权值的有向边。
求最大费用最大流，费用流值就是结果。
规则(3)
把梯形中每个位置看做一个点i，建立附加源S 汇T。
1、从S 向梯形顶层每个i 连一条容量为1，费用为0的有向边。
2、从梯形底层每个i 向T 连一条容量为无穷大，费用为0的有向边。
3、对于每个点i 和下面的两个点j，分别连一条从i 到j 容量为无穷大，费用为点i 权值的有向边。
求最大费用最大流，费用流值就是结果。
建模分析:
对于规则1，要求路径完全不相交，也就是每个点最多只能被访问了一次，所以要把点拆分，之间连接容量为1的边。因为任
意一条ST 之间的路径都是一个解，在拆分的点内部的边费用设为点的权值，求最大费用最大流就是费用最大的m 条路经。
对于规则2，要求路径可以相交，但不能有重叠，此时可以不必拆点了。为了保证路径没有重叠，需要在相邻的两个点上限制
流量为1，由于顶层的每个点只能用1次，S 向顶层点流量限制也为1。费用只需设在相邻点的边上，求最大费用最大流即可。
对于规则3，要求路径除了顶层每个点以外可以任意相交重叠。在规则2的基础上，取消除S 到顶层顶点之间的边以外所有边
的流量限制即可。