洛谷 P3383 模板线性筛素数

Posted 2020-10-16 Roni

题目描述

如题，给定一个范围N，你需要处理M个某数字是否为质数的询问（每个数字均在范围1-N内）

输入输出格式

输入格式：

 

第一行包含两个正整数N、M，分别表示查询的范围和查询的个数。

接下来M行每行包含一个不小于1且不大于N的整数，即询问该数是否为质数。

 

输出格式：

 

输出包含M行，每行为Yes或No，即依次为每一个询问的结果。

 

输入输出样例

输入样例#1： 复制

100 5
2
3
4
91
97

输出样例#1： 复制

Yes
Yes
No
No
Yes

说明

时空限制：500ms 128M

数据规模：

对于30%的数据：N<=10000，M<=10000

对于100%的数据：N<=10000000，M<=100000

样例说明：

N=100，说明接下来的询问数均不大于100且不小于1。

所以2、3、97为质数，4、91非质数。

故依次输出Yes、Yes、No、No、Yes。

 

【分析】：

线性筛素数

什么是线性筛

对于求多个质数时与其一个个判断不如用排除法，用空间换取大量时间。

原理：筛去一定范围内的所有合数。

基本实现

合数可以分解成质数相乘，所以用质数相乘筛一遍，枚举质数并且一路用i乘过去，标记一轮。

快速线性筛

简单来说，上面的算法会导致一个数筛多次而减慢效率，如6=2*3，明显2和3都会筛去6。于是换思路>>

原理：对于任意合数，必定可以有最小质因子乘以最大因子的分解方式。因此，对于每个合数，只要用最大因子筛一遍，枚举时只要枚举最小质因子即可。

求最大因子的方法：对于最大因子i，最小质因子p，如果i > p且i % p ≠ 0即为最大因子。

用反证法证明：若i%p=0， 则i=p*k，那么当pi为p的下一个质数时，有pi*i=p*pi*k，此时有pi*k>i,也就是筛去的不是用i，而是pi*k，若用i则会重复筛选。

EG如下：

14%7=0 14=7*2

14*11=154=7*11*2=77>14

【代码】：

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int maxn = 10000000+100;
int prime[maxn];
int n, m;
int main()
{
    cin>>n>>m;
//    for(int i=0;i<n;i++)
//        prime[i]=1;
    memset(prime,1,sizeof(prime));
    prime[0]=prime[1]=0;
    for(int i=2;i*i<=n;i++)////从二的倍数开始找
    {
        if(prime[i]) //只有在a[i]不是合数下判断
            for(int j=i*i;j<=n;j+=i)
                prime[j]=0;
    }
    for (int i=1; i<=m; i++) {
        int t;
        scanf("%d",&t);
        if (prime[t]) printf("Yes\n");
        else printf("No\n");
    }
    return 0;
}

埃氏筛法