卷积定理的证明

Posted 2020-10-16 lovely_lazy_tag

 

今天终于搞明白了卷积定理的证明，以前一直拿来就用的“时域卷积等于频域点积”终于得以揭秘：

 

直接证明一下连续情况好了，很容易推广到离散域（我不会）：

 

傅里叶变换的定义是：

　　　　FT(f) = integrate [-inf,+inf] f(t)*e^(-i*w*t) dt

卷积的定义是(先用@冒充一下卷积的算符qwq,学完latex一定改)：

　　　　f @ g = integrate [-inf,+inf] f(k)*g(t-k) dk

很容易证明傅里叶变换的时移(Time Shift)性质：

　　　　FT( f(t-ts) ) = integrate [-inf,+inf] f(t-ts)*e^(-i*w*t) dt

　　　　　　　　　　令u = (t-ts)

　　　　　　　　　 = integrate [-inf,+inf] f(u)*e^(-i*w*(u+ts)) dt

　　　　　　　　　 = e^(-i*w*ts)* integrate [-inf,+inf] f(u) du

　　　　　　　　　 = FT(f)*e^(-i*w*ts)

　　　　综上：   FT( f(t-ts) ) = FT(f)*e^(-i*w*ts)

利用此引理可以很容易地证明卷积定理。

首先把卷积定理"时域卷积等于频域点积"化为数学语言：

　　　　FT(f @ g) = FT(f)*FT(g)

下面对它进行证明：

　　　　FT(f @ g) = integrate[-inf,+inf] [ integrate[-inf,+inf] f(k)*g(t-k) dk ] *e^(-i*w*t) dt

　　　　　　　　  = double_integrate [-inf,+inf] f(k)*g(t-k)*e^(-i*w*t) d(k,t)

　　　　　　　　  = integrate [-inf,+inf] f(k)* [ integrate [-inf,+inf] g(t-k)*e^(-i*w*t) dt ] dk

　　　　　　　　  = integrate [-inf,+inf] f(k)*FT(g)*e^(-i*w*k) dk

　　　　　　　　  = FT(f)*FT(g)

　　　　证毕

就是这么简单，抽离无关变量，交换积分顺序，利用时移就可以轻松证明了~

 

 

 

后记：

　　学latex是不可能的，这辈子是不可能学latex的