欧几里得算法和扩展欧几里得算法

Posted 2020-10-16

概述

欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数\(a\),\(b\)的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理：

\(gcd\)函数就是用来求\((a,b)\)的最大公约数的。

\(gcd\)函数的基本性质：

\[gcd(a,b)=gcd(b,a)=gcd(-a,b)=gcd(|a|,|b|)\]

原理

证明：\(a?\)可以表示成\(a = kb + r?\)，则\(r = a (mod) b?\)

假设\(d\)是\(a\),\(b\)的一个公约数，则有

\(d|a\), \(d|b\)，而\(r = a - kb\)，因此\(d|r\)

因此\(d\)是\((b,a(mod)b)\)的公约数

假设\(d\) 是\((b,a(mod)b)\)的公约数，则

\(d | b\) , \(d |r\) ，但是\(a = kb +r\)

因此\(d\)也是\((a,b)\)的公约数

因此\((a,b)\)和\((b,a(mod)b)\)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证