函数的导数概念

Posted 2020-10-16

一、函数的导数的引入

如图所示，已知函数\\(y=f(x)\\)，给定其上的两个点\\(A(x_0，y_0)\\)和\\(B(x_0+\\Delta x，y_0+\\Delta y)\\)，则经过这两个点的直线\\(AB\\)，我们称为函数的割线，表达式\\(\\cfrac{\\Delta y}{\\Delta x}\\)称为函数在\\((x_0，x_0+\\Delta x)\\)上的平均变化率，也就是割线的斜率\\(k=\\cfrac{\\Delta y}{\\Delta x}\\)， 当点\\(B\\)沿着函数图像向点\\(A\\)靠近时，即\\(\\Delta x\\longrightarrow 0\\)时，割线就变成了切线，也就是平均变化率变成了瞬时变化率。

用数学式子表达如下：\\(\\lim\\limits_{\\Delta x \\to 0} \\cfrac{\\Delta y}{\\Delta x}\\)，我们称为函数在点\\(x=x_0\\)处的瞬时变化率，如果这个极限存在，记为常数\\(k\\)，那么我们就称函数在这一点有导数，并称之为函数在点\\(x=x_0\\)的导数，记作\\(f'(x_0)=\\lim\\limits_{\\Delta x \\to 0} \\cfrac{\\Delta y}{\\Delta x}\\)，或者记作\\(y'|_{x=x_0}\\)或者\\(\\cfrac{df(x_0)}{dx}\\)

总结：

1、函数在某一点处的导数，是一个常数，其对应的形为函数在这一点的切线的斜率。即\\(k=f'(x_0)=\\lim\\limits_{\\Delta x \\to 0} \\cfrac{\\Delta y}{\\Delta x}\\)，若切点坐标是\\((x_0，y_0)\\)，则切线方程为\\(y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)\\)；

2、函数在某一点有导数的前提条件是函数在这一点的极限要存在，初高中阶段所学的函数中有一个函数\\(y=|x|\\)，在\\(x=0\\)处就没有导数，即函数\\(y=|x|\\)在\\(x=0\\)处不可导，粗浅的可以这样理解，凡是函数图像上有尖角的地方就不可导，详细的原因是函数在这一点处的左右极限不相等。

3、导数与几何、代数、物理都有关联，比如在几何上可以求在某点处的切线斜率；在代数上可以求瞬时变化率；在物理上可以求速度和加速度(位移对时间的导数是速度，速度对时间的导数是加速度)；

4、求导和求不定积分是一对互逆的运算。

5、对函数而言，连续不一定可导，但可导一定连续。比如函数\\(y=|x|\\)，故函数在某个区间上连续是函数可导的必要不充分条件，因此我们给函数求导时往往先要求函数要连续。

6、过函数上某一定点的割线的极限是函数的过这一点的切线，割线的斜率的极限就是切线的斜率。

7、我们在初中定义直线和圆(圆是非常特殊的封闭图形)相切时是利用交点的个数，当二者只有一个交点时，就一定相切；现在我们利用割线的极限来定义切线，就得注意打破这一点，比如直线\\(x=1\\)和抛物线\\(y=(x-1)^2\\)只有一个交点，但此时二者是相交的，不是相切的。

8、当直线和曲线只有一个交点，不能说二者相切，有可能相交(如上)；当直线和曲线有不止一个交点时，不能说二者不相切，有可能其中某一个交点就是切点；

9、函数的导数是个常数，记作\\(f'(x_0)\\)或者\\(y'|_{x=x_0}\\)；而导函数是个函数，是个变量，记作\\(f'(x)\\)或\\(y'|_{x}\\)，
如已知函数\\(f(x)=x^2+2f'(2)x+3\\)，求函数的解析式就是利用函数的导数是个常数，给函数求导得到，\\(f'(x)=2x+2f'(2)\\)，令\\(x=2\\)，解得\\(f'(2)=-4\\)，故函数的解析式为\\(f(x)=x^2-8x+3\\)。

10、实际问题中的导数的意义：

在不同的实际问题中，导数的意义是不相同的。比如：功率是功关于时间的导数；速度是路程关于时间的导数；加速度是速度关于时间的导数；线密度是质量关于长度的导数；边际成本是成本关于产量的导数；气球的膨胀率是气球半径关于体积的导数。