数论の一波流[长期更新]

Posted 2020-10-15 JZYshuraK_彧

[一]

　　　　题目大意：设$f(n)=\sum_{D=1}^{n}(\sum_{d|D}\cdot(\sum_{k=1}^{\frac{D}{d}}\varphi(k)\cdot\lfloor\frac{D}{d\cdot k}\rfloor))$，多次询问，求f(n)(mod 1000000007)的值。

　　　　注释：t组询问，t<=$10^3$，n<=$10^7$。

　　　　　　想法：首先，这题快恶心死我了，一上午啥他妈的也没干......

　　　　　　　　　　开始我们的数论盛宴

　　　　　　引理1：$\sum_{i|n}\varphi(i)=n$。证明：

　　　　　　　　我们这个式子的意思是什么呢？看一下：如果我们枚举1到n，每一个数表示枚举最大公约数，那么，我们查询1到n中有多少数与n的最大公约数是 i 。若gcd( j , n ) = i  ，那么

$gcd(\frac{j}{i},\frac{n}{i})=1$。所以，每一个数算了且仅被算了一次，证毕。

　　　　　　引理2：$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^{\lfloor\frac n i\rfloor}\varphi(i)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j|i}\varphi(i)$ 。证明：啊啊啊，坑了我很久了啊有木有！！

　　　　　　　　我们考虑前面的式子与后面的式子中的$\varphi(i)$的个数。考虑左式，每一个$\varphi(i)$都被算了$\lfloor\frac{n}{i}\rfloor$次，显然，这个式子表示n当中有多少个数是i的倍数，所以，每一个i都会且只会被它的倍数筛掉。也就是说它有多少个倍数就只会被筛多少次。那么，等价的，我们对于每一个数它的约数都会进行枚举，且枚举次数是一定相等的，证毕。