[Bzoj1009]GT考试（KMP）（矩乘优化DP）

Posted 2020-10-15

1009: [HNOI2008]GT考试

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Description

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　　阿申准备报名参加GT考试，准考证号为N位数X1X2....Xn(0<=Xi<=9),他不希望准考证号上出现不吉利的数字。
他的不吉利数学A1A2...Am(0<=Ai<=9)有M位，不出现是指X1X2...Xn中没有恰好一段等于A1A2...Am. A1和X1可以为
0

Input

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　　第一行输入N,M,K.接下来一行输入M位的数。 N<=10^9,M<=20,K<=1000

Output

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　　阿申想知道不出现不吉利数字的号码有多少种，输出模K取余的结果.

Sample Input

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4 3 100 
111

 

Sample Output

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81

 

 

分析：

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开始做我最弱的字符串题目了。。。

 

题目很显然是dp。定义状态dp[i][j]表示当前串长度为i，后j位是和不吉利串的前j位相同的方案数。

考虑转移：

可以由dp[i - 1][j - 1]转移到 dp[i][j] ----①

可以由dp[i - 1][k]转移到dp[i][j] ----②（k > j）就是说i - 1匹配为k，加个数字不合法了，但现在后j位还是和原字符串有匹配的。这里就需要用KMP的失败指针构造一下了。

可以由dp[i - 1][j]转移到dp[i][0] ----③ 当①和②都不成立，就说明当前和原字符串没任何匹配，转移到0状态.

然后发现n很大，我们转移是O（n * m）的，但每次的转移是线性的，很显然可以用矩乘优化。

最后把0 ~ m - 1加起来就好了。

 

AC代码：

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# include <iostream>
# include <cstdio>
# include <cstring>
using namespace std;
int fail[23][11],n,m,mod,next[23]; 
struct fi{
    int data[23][23];
}A,T;
char str[23];
void get_Fail(){
    scanf("%s",str);
    for(int i = 1,j = 0;i < m;i++){
        while(j && str[i] != str[j])j = next[j - 1];
        if(str[i] == str[j])j++;
        next[i] = j;
    }
    memset(T.data,0,sizeof T);
    for(int i = 0;i < m;i++){
        for(int j = 0;j <= 9;j++){
            int k = i;
            while(k && str[k] - ‘0‘ != j)k = next[k - 1];
            if(j == str[k] - ‘0‘)T.data[i][k + 1]++;
            else T.data[i][0]++;
        }
    }
    memset(A.data,0,sizeof A.data);
    for(int i = 0;i < m;i++)A.data[i][i] = 1;
}
fi operator * (const fi & c,const fi & d){
    fi t;
    for(int i = 0;i < m;i++){
        for(int j = 0;j < m;j++){
            t.data[i][j] = 0;
            for(int k = 0;k < m;k++){
                (t.data[i][j] += c.data[i][k] * d.data[k][j]) %= mod;
            }
        }
    }
    return t;
}
void cmd(int k){
    while(k){
        if(k & 1)A = A * T;
        k >>= 1;
        T = T * T;
    }
}
int main(){
    scanf("%d %d %d",&n,&m,&mod);
    get_Fail();
    cmd(n);
    int ans = 0;
    for(int i = 0;i < m;i++)(ans += A.data[0][i]) %= mod;
    printf("%d\n",ans);
    
}